Definisi Presisi dari Limit: Menggunakan Definisi Formal

Bachtiarmath.com | baik pada kesempatan kali ini bachtiarmath.com akan membahas tentang cara mencari limit menggunakan definisi formal. Untuk mengetahui caranya bagaimana? mari simak penjelasan berikut ini. Semoga kalian paham apa yang saya jelaskan, apabila ingin ditanyakan silahkan hubungi saya melalui contact di navigasi bawah.

Contoh 1.1

Diketahui sebuah fungsi f(x), sebuah titik c, dan sebuah bilangan positif $\epsilon$ . Carilah

. Kemudian cari nilai $\delta$ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x memenuhi:

1. f(x) = 3 - 2x, c = 3,

= 0,02

2. f(x) = -3x - 2, c = -1,

= 0,03

Jawab:

1. f(x) = 3 - 2x, c = 3,

= 0,02

Step 1

|f(x) - L| <

|(3 - 2x) - (-3)| < 0,02

-0,02 < (3 - 2x) + 3 < 0,02

-0,02 < 6 - 2x < 0,02

-0,02 - 6 < -2x < 0,02 - 6

-6,02/-2 > x > -5,98/-2

3,01 > x > 2,99

2,99 < x < 3,01

Step 2

|x - c| <

|x - 3| <

< x - 3 <

+ 3 < x <

+ 3

Step 3

+ 3 = 2,99 $\Rightarrow$

= 2,99 - 3

= -0,01

= 0,01

atau

+ 3 = 3,01 $\Rightarrow$

= 4,01 - 3

= 0,01

Jadi,

= 0,01

2. f(x) = -3x - 2, c = -1, $\epsilon$ = 0,03

Step 1

|f(x) - L| <

|(-3x - 2) - 1| < 0,03

-0,03 < (-3x- 2) - 1 < 0,03

-0,03 < -3x - 3 < 0,03

-0,03 + 3 < -3x < 0,03 + 3

2,97/-3 > x > 3,03/-2

-0,99 > x > -1,01

-1,01 < x < -0,99

Step 2

|x - c| <

|x - (-1)| <

< x + 1 <

- 1 < x <

- 1

Step 3

- 1 = -1,01 $\Rightarrow$

= -1,01 + 1

= -0,01

= 0,01

atau

- 1 = -0,99 $\Rightarrow$

= -0,99 + 1

= 0,01

Jadi,

= 0,01

Contoh 1.2

Buktikan Pernyataan mengenai limit berikut ini!

Jawab:

1. $\lim_{x\to 4}~(9-x)=5$

Penyelesaian:

Step 1

|f(x) - L| < $\epsilon$

|(9 - x) - 5| < $\epsilon$

- $\epsilon$ < (9 - x) -5 < $\epsilon$

- $\epsilon$ < -x + 4 < $\epsilon$

- $\epsilon$ - 4< -x < $\epsilon$ - 4

$\epsilon$ + 4 > x > - $\epsilon$ + 4

- $\epsilon$ + 4 < x < $\epsilon$ + 4

Step 2

|x - c| < $\delta$

|x - 4| < $\delta$

- $\delta$ < x - 4 < $\delta$

- $\delta$ + 4 < x < $\delta$ + 4

Step 3

- $\delta$ + 4 = - $\epsilon$ + 4 $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

- $\delta$ = - $\epsilon$ + 4 - 4

- $\delta$ = - $\epsilon$

$\delta$ = $\epsilon$

atau

$\delta$ + 4 = $\epsilon$ + 4 $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

$\delta$ = $\epsilon$ + 4 - 4

$\delta$ = $\epsilon$

Jadi, $\delta$ = $\epsilon$

2. $\lim_{x\to 3}~(3x-7)=2$
Penyelesaian:

Step 1

|f(x) - L| < $\epsilon$

|(3x - 7) - 2| < $\epsilon$

- $\epsilon$ < (3x - 7) - 2 < $\epsilon$

- $\epsilon$ < 3x - 9 < $\epsilon$

- $\epsilon$ + 9 < 3x < $\epsilon$ + 9

(- $\epsilon$ + 9)/3 < x < ( $\epsilon$ + 9)/3

- $\epsilon$ /3 + 3 < x < $\epsilon$ /3 + 3

Step 2

|x - c| < $\delta$

|x - 3| < $\delta$

- $\delta$ < x - 3 < $\delta$

- $\delta$ + 3 < x < $\delta$ + 3

Step 3

- $\delta$ + 3 = - $\epsilon$ /3 + 3 $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

- $\delta$ = - $\epsilon$ /3 + 3 - 3

- $\delta$ = - $\epsilon$ /3

$\delta$ = $\epsilon$ /3

atau

$\delta$ + 3 = $\epsilon$ /3 + 3 $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

$\delta$ = $\epsilon$ /3 + 3 - 3

$\delta$ = $\epsilon$ /3

Jadi, $\delta$ = $\epsilon$ /3

3. $\lim_{x\to 9}~\sqrt{x-5}=2$
Penyelesaian:

Step 1

|f(x) - L| < $\epsilon$

|( $\sqrt{x-5}$ ) - 2| <

- $\epsilon$ < $\sqrt{x-5}$ - 2 < $\epsilon$

- $\epsilon$ + 2 < $\sqrt{x-5}$ < $\epsilon$ + 2

(- $\epsilon$ + 2)^2 < x - 5 < ( $\epsilon$ + 2)^2

( $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ + 4) + 5 < x < ( $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ + 4) + 5

$\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ + 9 < x < $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ + 9

Step 2

|x - c| < $\delta$

|x - 9| < $\delta$

- $\delta$ < x - 9 < $\delta$

- $\delta$ + 9 < x < $\delta$ + 9

Step 3

- $\delta$ + 9 = $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ + 9 $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

- $\delta$ = $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ + 9 - 9

- $\delta$ = $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$

$\delta$ = - $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$

atau

$\delta$ + 9 = $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ + 9 $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

$\delta$ = $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ + 9 - 9

$\delta$ = $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$

Jadi, $\delta$ = - $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ (diambil yg terkecil)

4. $\lim_{x\to 0}~\sqrt{4-x}=2$

Step 1

|f(x) - L| < $\epsilon$

|( $\sqrt{4-x}$ ) - 2| <

- $\epsilon$ < $\sqrt{4-x}$ - 2 < $\epsilon$

- $\epsilon$ + 2 < $\sqrt{4-x}$ < $\epsilon$ + 2

(- $\epsilon$ + 2)^2 < -x + 4 < ( $\epsilon$ + 2)^2

( $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ + 4) - 4 < -x < ( $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ + 4) - 4

$\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ < -x < $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$
- $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ > x > - $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$
- $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ < -x < - $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$

Step 2

|x - c| < $\delta$

|x - 0| < $\delta$

- $\delta$ < x - 0< $\delta$

- $\delta$ < x < $\delta$

Step 3

- $\delta$ = - $\epsilon$ ^2 - 4 $\epsilon$ $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

$\delta$ = $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$

atau

$\delta$ = - $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ $\Rightarrow$ $\delta$ = $\epsilon$

Jadi, $\delta$ = - $\epsilon$ ^2 + 4 $\epsilon$ (diambil yg terkecil)

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