Pola dan Barisan Bilangan Aritmetika & Geometri
POLA BILANGAN
Pola bilangan adalah aturan yang membentuk sekelompok bilangan yang diurutkan. Berikut ini diberikan beberapa jenis pola bilangan sederhana.
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, ...
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, ...
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, ...
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16 ...
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, ...
Pola bilangan pada segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien perpangkatan dari penjumlahan 2 suku.
Barisan Bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dan bilangan berikutnya. Setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan. Barisan mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambahkan atau mengurangi dengan bilangan yang sama. Bilangan yang sama (selisih antara dua suku) tersebut dinamakan beda, dilambangkan dengan "b". Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung.
Barisan U1, U2, U3,U4, ...,Un disebut barisan aritmetika jika dan hanya jika untuk setiap n berlaku
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama. Barisan geometri disebut juga barisan ukur. Bilangan yang sama (perbandingan antara dua suku yang berurutan) tersebut dinamakan rasio dan disimbolkan dengan "r".
dengan :
Pola bilangan adalah aturan yang membentuk sekelompok bilangan yang diurutkan. Berikut ini diberikan beberapa jenis pola bilangan sederhana.
1). Pola Bilangan Ganjil
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, ...
Dalam hal ini,
1 = 2 - 1 = 2 x 1 - 1
3 = 4 - 1 = 2 x 2 - 1
5 = 6 - 1 = 2 x 3 - 1
7 = 8 - 1 = 2 x 4 - 1
...
Jadi, pola barisan bilangan ganjil adalah 2n - 1
2). Pola Bilangan Genap
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, ...
Dalam hal ini,
2 = 2 x 1
4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
8 = 2 x 4
...
Jadi, pola barisan bilangan genap adalah 2n
3). Pola Bilangan Segitiga
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, ...
Dalam hal ini,
1 = 1/2 x 2 = 1/2 x 1 x 2
3 = 1/2 x 6 = 1/2 x 2 x 3
6 = 1/2 x 12 = 1/2 x 3 x 4
10 = 1/2 x 20 = 1/2 x 4 x 5
...
Jadi, pola barisan bilangan segitiga adalah 1/2.n (n+1)
4). Pola Bilangan Persegi
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16 ...
Dalam hal ini,
1 = 1 x 1
4 = 2 x 2
9 = 3 x 3
16 = 4 x 4
...
Jadi pola barisan bilangan persegi adalah n^2
5). Pola Bilangan Persegi Panjang
Bilangan-bilangan yang menyusun pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, ...
Dalam hal ini,
2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
12 = 3 x 4
20 = 4 x 5
...
Jadi, pola barisan bilangan persegi panjang adalah n.(n+1)
6). Pola Bilangan Segitiga Pascal
Pola bilangan pada segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien perpangkatan dari penjumlahan 2 suku.
(a+b)^0 = 1
(a+b)^1 = 1a + 1b
(a+b)^2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a+b)^3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a+b)^4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + 1b4
dan seterusnya.
BARISAN BILANGAN
Barisan Bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dan bilangan berikutnya. Setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan. Barisan mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
U1, U2, U3,U4, ...,Un
Suku ke-1 adalah U1, suku ke-2 adalah U2, suku ke-3 adalah U3, suku ke-4 adalah U4, dan seterusnya. Suku ke-n dari barisan bilangan ditulis Un .
1). Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambahkan atau mengurangi dengan bilangan yang sama. Bilangan yang sama (selisih antara dua suku) tersebut dinamakan beda, dilambangkan dengan "b". Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung.
Barisan U1, U2, U3,U4, ...,Un disebut barisan aritmetika jika dan hanya jika untuk setiap n berlaku
Un - Un-1 = b, b adalah suatu konstanta.
Jika suku pertama U1 disebut "a" maka :
U1 = a
U2 = a + b
U3 = (a + b) + b = a + 2b
U4 = (a + 2b) + b = a + 3b
.......................................
Un = a+(n-1).b
U2 = a + b
U3 = (a + b) + b = a + 2b
U4 = (a + 2b) + b = a + 3b
.......................................
Un = a+(n-1).b
Jadi, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika sebagai berikut.
Un = a + ( n - 1 ). b
dengan :
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un = suku ke-n
Contoh :
Carilah suku ke-9 dan ke-18 dari barisan 2, 5, 8, 11, ...
Jawab:
a = 2
b = U2 - U1 = 5 - 2 = 3
Mencari suku ke-9
Un = a + (n-1). b
U9 = 2 + (9-1). 3
= 2 + (8). 3
= 2 + 24
= 26
Mencari suku ke-18
Un = a + (n-1). b
U18 = 2 + (18-1). 3
= 2 + (17). 3
= 2 + 51
= 53
Jadi, suku ke-9 adalah 26 dan suku ke-18 adalah 53.
2). Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama. Barisan geometri disebut juga barisan ukur. Bilangan yang sama (perbandingan antara dua suku yang berurutan) tersebut dinamakan rasio dan disimbolkan dengan "r".
Jika suku pertama U1 disebut "a" maka :
U1 = a
U2 = a.r
U3 = a.r x r = a.r2
U4 = a.r2 x r = a.r3
.......................................
Un = a.rn-1
U2 = a.r
U3 = a.r x r = a.r2
U4 = a.r2 x r = a.r3
.......................................
Un = a.rn-1
Jadi, rumus umum suku ke-n dari barisan geometri sebagai barikut.
Un = a.rn-1
dengan :
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un = suku ke-n
Contoh :
Diketahui barisan bilangan : 2, 4, 8, 16, ...
tentukan suku ke-8 dan suku ke-11.
Jawab:
a = 2
r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 2
Mencari suku ke-8
Un = a . r8-1
U8 = 2 . 28-1
= 2 . 27
= 2 . 128
= 256
Mencari suku ke-11
Un = a.rn-1
U11 = 2 . 211-1
= 2 . 210
= 2 . 1024
= 2048
Jadi, suku ke-8 adalah 256 dan suku ke-11 adalah 2048.
a.rn-1
tentukan suku ke-8 dan suku ke-11.
Jawab:
a = 2
r = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 2
Mencari suku ke-8
Un = a . r8-1
U8 = 2 . 28-1
= 2 . 27
= 2 . 128
= 256
Mencari suku ke-11
Un = a.rn-1
U11 = 2 . 211-1
= 2 . 210
= 2 . 1024
= 2048
Jadi, suku ke-8 adalah 256 dan suku ke-11 adalah 2048.