Relasi Ekuivalen - Struktur Aljabar I
#Materi dibawah ini diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.
Definisi 1.1
Definisi 1.1
Misalkan S himpunan kosong.
1. Refleksif, a~a untuk setiap a ∈ S.
1. Bersifat Reflektif
Dikatakan bersifat reflektif jika mempunyai bentuk umum: a | a
2. Bersifat Simetris
Dikatakan bersifat simetris jika mempunyai bentuk umum: a | b, jika dan hanya jika b = ac
Contoh:
Berikut ini tentukan manakah yang bersifat simestris dan manakah yang tidak simetris!
a. 2 | 6
b. 6 | 2
c. 3 | 9
d. 2 | 8
e. 10 | 5
Jawaban:
3. Bersifat Transitif
Dikatakan bersifat transitif jika mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
jika a | b dan b | c maka a | c
Bukti:
Ambil sembarang 2 bilangan bulat m dan n sehingga:
Akibatnya,
c = b.n
= (a.m).n
= (mn).a
Karena, terdapat 2 bilangan bulat mn sehingga berlaku c = (mn).a maka a | c.
Jadi terbukti a | b dan b | c maka a | c bersifat transitif.
Contoh 1.1
Misalkan Q =
p,q ∈ Z, q ≠ 0. Didefinisikan relasi ~ pada Q dengan aturan
jika dan hanya jika ms = nr. Buktikan bahwa relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen.
Jawab:


Jawab:
Untuk membuktikan bahwa relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen, maka harus bersifat reflektif, simestris, dan transitif.
Adib ~ bersifat reflektif
Ambil sembarang

Jelas mn = nm.
Jadi terbukti ~ bersifat refleksif.
Adib ~ bersifat simetris
Ini berarti 
Jadi terbukti ~ bersifat simetris
Adib ~ bersifat transitif

Jadi terbukti ~ bersifat transitif.
Karena soal diatas bersifat reflektif, simestris, dan transitif. Maka, relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen.
Definisi 1.2
Bentuk umum:
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan n sembarang bilangan bulat positif.
Jika dan hanya jika
n | a - b
Contoh:
Karena, 6 | 5 - 17
Karena, 2 tidak habis membagi 3 - 8
Karena, 2 | 4 - 20
Karena, 3 tidak habis membagi 7 - 15
Baca Juga:
0 Response to "Relasi Ekuivalen - Struktur Aljabar I"
Post a Comment