Relasi Ekuivalen - Struktur Aljabar I

#Materi dibawah ini diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.

Definisi 1.1

Misalkan S himpunan kosong.
1. Refleksif, a~a  untuk setiap a ∈ S.
2. Simetris, a~b  b~a, untuk setiap a,b ∈ S.
3. Transitif, a~b dan b~c  a~c  untuk setiap a,b,c ∈ S.

Berikut ini adalah pembahasan dari ketiga sifat diatas:

1. Bersifat Reflektif

Dikatakan bersifat reflektif jika mempunyai bentuk umum: a | a

2. Bersifat Simetris

Dikatakan bersifat simetris jika mempunyai bentuk umum: a | b, jika dan hanya jika b = ac

Contoh:

Berikut ini tentukan manakah yang bersifat simestris dan manakah yang tidak simetris!
a. 2 | 6
b. 6 | 2
c. 3 | 9
d. 2 | 8
e. 10 | 5

Jawaban:

a. Bersifat simestris  6 = 2x3.
b. Tidak bersifat simetris  2 = 6 x 1/3, 1/3 ∉ Z (bulat).
c. Bersifat simetris  9 = 3x3.
d. Bersifat simetris  8 = 2x4.
e. Tidak bersifat simetris  5 = 10 x 1/2, 1/2 ∉ Z (bulat).

3. Bersifat Transitif

Dikatakan bersifat transitif jika mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
jika a | b dan b | c maka a | c

Bukti:

Ambil sembarang 2 bilangan bulat m dan n sehingga:
a | b  b = a.m
b | c  c = b.n
Akibatnya,
c = b.n
  = (a.m).n
  = (mn).a

Karena, terdapat 2 bilangan bulat mn sehingga berlaku c = (mn).a maka a | c.
Jadi terbukti a | b dan b | c maka a | c bersifat transitif.


Contoh 1.1
Misalkan Q  p,q ∈ Z, q ≠ 0. Didefinisikan relasi ~ pada Q dengan aturan  jika dan hanya jika ms = nr. Buktikan bahwa relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen.

Jawab:

Untuk membuktikan bahwa relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen, maka harus bersifat reflektif, simestris, dan transitif.

Adib ~ bersifat reflektif
Ambil sembarang  ∈ Q.
Jelas mn = nm.
Ini berarti 
Jadi terbukti ~ bersifat refleksif.

Adib ~ bersifat simetris
Ambil sembarang  ∈ Q. Dengan .
Karena  maka ms = nr.
Jelas ms = nr  rn = sm.
Ini berarti .
Jadi terbukti ~ bersifat simetris

Adib ~ bersifat transitif
Ambil sembarang  ∈ Q. Dengan  dan 
Jelas     ms = nr     dan

Jadi terbukti ~ bersifat transitif.

Karena soal diatas bersifat reflektif, simestris, dan transitif. Maka, relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen.


Definisi 1.2

Bentuk umum:
Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan n sembarang bilangan bulat positif.
 b (mod n)
Jika dan hanya jika
n | a - b

Contoh:

1. 5  17 (mod 6)
    Karena, 6 | 5 - 17

2. 3  8 (mod 2)
    Karena, 2 tidak habis membagi 3 - 8

3. 4  20 (mod 2)
    Karena, 2 | 4 - 20

4. 7  15 (mod 3)
    Karena, 3 tidak habis membagi 7 - 15

Baca Juga:

0 Response to "Relasi Ekuivalen - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel