Operasi Biner - Struktur Aljabar I

Pada kesempatan ini bachtiarmath.com akan membahaas tentang materi lanjutan dari relasi ekuivalen, yaitu materi operasi biner. Penasaran bagaimana cara mengerjaan soal operasi biner, mari simak penjelasan berikut ini.

https://www.pixabay.com

Definisi 1

S suatu himpunan operasi biner $\ast$

(a, b) ∈ SxS, → n ∈ S.

Contoh:

1. Operasi Penjumlahan

Operasi + pada R merupakan operasi biner.

(2, 3) = 5

(3, 4) = 7

(3, 5) = 8

dan sebagainya

2. Operasi Pembagian

Operasi pembagian (:) pada Z bukan merupakan operasi biner. Sebab (3, 5) ∈ Z, tetapi 3:5=3/5 ∉ Z.

Definisi 2

Operasi $\ast$ pada S dikatakan:

1. Komutatif, jika a $\ast$ b = b $\ast$ a untuk setiap a,b ∈ S.

2. Asosiatif, jika (a $\ast$ b) $\ast$ c = a $\ast$ (b $\ast$ c) untuk setiap a,b,c ∈ S.

Contoh 1.1

Operasi $\ast$ pada R* = R-{0} (dibaca R tak nol) a $\ast$ b = $\frac{1}{ab}$ . Berikut ini adalah pembahasannya:

1). Adib $\ast$ bersifat komutatif

Ambil sembarang a,b ∈ R*
$Jelas~~a\ast b=\frac{1}{ab}=\frac{1}{ba}=b\ast a$
Jadi $\ast$ bersifat komutatif.

2). Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ R*
$Jelas~~(a\ast b)\ast c=\frac{1}{ab}\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{1}{\frac{1}{ab}~.~c}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{ab}{c}$

$Jelas~~a\ast (b\ast c)=a\ast \frac{1}{bc}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{1}{a~.~\frac{1}{bc}}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{bc}{a}$

Karena, (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Contoh 1.2

Operasi $\ast$ didefinisikan pada Z-{0}, dengan a $\ast$ b = (ab) + 2 , ∈ Z. Berikut ini adalah pembahasannya:

1). Adib $\ast$ bersifat komutatif

Ambil sembarang a,b ∈ Z-{0}.

Jelas a $\ast$ b = (ab) + 2

b $\ast$ a = (ba) + 2

Karena, a $\ast$ b = b $\ast$ a maka operasi $\ast$ bersifat komutatif.

2). Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ Z-{0}.

$Jelas~~(a\ast b)\ast c=\left [ (ab)+2 \right ]\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\left [ ((ab)+2)~.~c \right ]+2\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\left [ (abc)+2c \right ]+2$

$Jelas~~a\ast (b\ast c)=a\ast \left [(bc)+2 \right ]\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\left [a~.~ ((bc)+2) \right ]+2\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\left [ (abc)+2a \right ]+2$

Karena, (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Materi diatas diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.

Latihan Soal
Pada soal dibawah ini. Selidiki apakah operasi $\ast$ bersifat komutatif dan asosiatif.
1. Operasi $\ast$ pada R dengan a $\ast$ b = $a^2$ + ab + 1.

2. Operasi $\ast$ pada Z dengan a $\ast$ b = 2a + b + 2.

3. Didefinisikan $\ast$ pada $Z^+$ dengan a $\ast$ b = $10^{ab}$

4. Didefinisikan $\ast$ pada Q dengan a $\ast$ b = a.(b+1)

Lihat jawaban selengkapnya {klik}

Iklan Bawah Header

Operasi Biner - Struktur Aljabar I

0 Response to "Operasi Biner - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel