Soal dan Pembahasan : Dasar-dasar Perhitungan Kombinatorika

Haii gaess.. kali ini bachtiarmath.com akan membahas soal-soal tentang  kombinatorika yang pernah saya dapatkan pada jenjang SMA dan Perkuliahan. Pada materi kombinatorika ini saya bagi menjadi beberapa postingan, yaitu:

1. Soal & Pembahasan - Kombinatorika (Dasar Perhitungan)
2. Soal & Pembahasan - Kombinatorika (Kombinasi & Permutasi)
3. Soal & Pembahasan - Teorema Binomial & Multinomial
4. Soal & Pembahasan - Prinsip Inklusi & Eksklusi

Untuk materi yang saya bahas kali ini hanya poin kesatu saja, untuk poin dua sampai empat akan saya bahas pada kesempatan selanjutnya.

Pembahasan soal-soal ini saya bedakan berdasarkan dasar-dasar perhitungan kombinatorika, yaitu antara lain:

1. Aturan penjumlahan
2. Aturan perkalian
3. Perhitungan tak-langsung
4. Koresponden satu-satu

Apasih perbedaan aturan penjumlahan dengan aturan perkalian?

Untuk membedakannya itu sangat mudah sekali. Pada aturan penjumlahan kita selalu bermain dengan kata penghubung "atau" sedangkan pada aturan perkalian kita bermain dengan kata penghubung "dan".

Jadi, ketika ada soal ditengah-tengah kalimat soal, terdapat kata penghubung "atau" maka untuk menyelesaikan soal tersebut kita menggunakan aturan penjumlahan. Kemudian ketika ada soal ditengah-tengah kalimat soal, terdapat kata penghubung "dan" maka untuk menyelesaikan soal tersebut kita menggunakan aturan perkalian.

Pada materi yang saya bagikan ini bersumber dari buku Matematika Diskrit karangan Drs. Jong Jek Siang, M.Sc. Oke untuk mempersingkat waktu mari kita langsung saja mulai pembahasan soal kombintorika yang aturan penjumlahan.

Aturan Penjumlahan

Soal 1

Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam untuk mengambil sebuah jantung (heart) atau sebuah daun (spade)?

Pembahasan:

Ingat!!

Pada kartu bridge terdapat macam-macam jenis:

• Jantung/hati = 13 kartu (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, dan As)
• Keriting = 13 kartu 
• Daun/waru = 13 kartu 
• Wajik/diamond = 13 kartu

Jadi, berapa macam cara untuk mengambil sebuah jantung (heart) atau sebuah daun (spade)?

jantung + daun

=  13 + 13

=  26 cara

Soal 2

Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam untuk mengambil sebuah jantung atau kartu As?

Pembahasan:

Ingat!!

• Jantung = 13 kartu
• As = 3 kartu (karena 1 kartu As sudah masuk di jantung)

jantung + As

=  13 + 3

=  16 cara

Soal 3

Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam untuk mengambil sebuah As atau sebuah king?

Pembahasan:

Ingat!!

• As = 4 kartu (As wajik, daun, keriting, & jantung)
• King = 4 kartu (king wajik, daun, keriting, & jantung)

As + king

=  4 + 4

=  8 cara

Soal 4

Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam cara untuk mengambil sebuah kartu bernomor 2 hingga 10?

Pembahasan:

Ingat!!

• kartu bernomor 2 = 4 kartu (2 wajik, daun, keriting, & jantung)
• kartu bernomor 3 = 4 kartu (2 wajik, daun, keriting, & jantung)
• hingga kartu bornomor 10 pun sama, yaitu ada 4 kartu.

pada kartu bernomor 2 sampai 10 terdapat 9 kartu. Jadi, berapa cara untuk mengambi sebuah kartu bernomor 2 hingga 10?

9 + 9 + 9 + 9

=  36 cara

Soal 5

Misalkan dua buah dadu yang berbeda warnanya (merah dan putih) dilontarkan. Ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8?

Pembahasan:

• Angka 4

Dadu Merah        Dadu Putih

         1                          3

         2                          2

         3                          1

pada angka 4 ada 3 cara.

• Angka 8

Dadu Merah        Dadu Putih

         2                          6

         3                          5

         4                          4

         5                          3

         6                          2

pada angka 8 ada 5 cara.

Jadi, berapa cara untuk mendapatkan angka 4 atau 8, yaitu 3 + 5 = 8 cara.

Bagaimana kalau kedua dadu warnanya sama? seperti soal 6

Soal 6

Misalkan dua buah dadu warnanya sama (merah dan merah) dilontarkan. Ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8?

Pembahasan:

Ingat!!

Kalau dadunya sama kemudian muncul (1,3) dengan (3,1) itu dihitung 1, karena tidak dapat dibedakan warnanya.

• Angka 4

Dadu Merah       Dadu Merah

         1                          3

         2                          2

pada angka 4 ada 2 cara.

• Angka 8

Dadu Merah       Dadu Merah

         2                          6

         3                          5

         4                          4

pada angka 8 ada 3 cara.

Jadi, berapa cara untuk mendapatkan angka 4 atau 8 pada dadu yang sama, yaitu 2 + 3 = 5 cara.

Aturan Perkalian

Soal 7

Misalkan barang-barang di suatu parbrik diberi nomor kode yang terdiri 3 huruf dan diikuti 4 angka (misal KMR3154). Tentukan:

• Jika huruf dan angka boleh diulangi penggunaanya, ada berapa macam barang yang dapat diberi kode yang berbeda?
• Jika hanya hurufnya saja yang boleh diulangi, ada berapa macam barang yang dapat diberi kode yang berbeda?
• Jika huruf dan angka tidak boleh diulangi (suatu barang tidak boleh memiliki kode huruf/angka yang sama), ada berapa macam barang yang dapat diberi kode yang berbeda?

Pembahasan:

Ingat!!

Pada bahasa indonesia, ada 26 huruf (A sampai Z) dan 10 angka (0 sampai 9)

a). Huruf & angka boleh diulangi

26  26  26  dan  10  10  10  10

=  (26 x 26 x 26) x (10 x 10 x 10 x 10)
=  26³ x 10⁴

b).  Hanya huruf saja yang diulangi

26  26  26  dan  10   9   8   7

=  (26 x 26 x 26) x (10 x 9 x 8 x 7)
=  26³ x (10 x 9 x 8 x 7)

c).  Huruf & angka tidak boleh berulang

26  25  24  dan  10   9   8   7

=  (26 x 25 x 24) x (10 x 9 x 8 x 7)

Soal 8

Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau 3 digit yang dapat dibentuk menggunakan angka-angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, dan 9, jika perulangan tidak diperboehkan.

Pembahasan:

Diketahui bahwa 1, 3, 4, 5, 6, 8, dan 9, itu berjumlah 7. Maka didapat:

 7    6    atau    7    6    5 

=  (7 x 6) + (7 x 6 x 5)
=  42 + 210
=  252 cara

Perhitungan Tak Langsung

Selain peritungan-perhitungan langsung seperti soal 1 - soal 8, kadang-kadang masalah kombinatorika akan lebih mudah diselesaikan secara tidak langsung, yaitu dengan menghitung komplemennya.

Soal 9

Suatu kartu bridge lengkap diambil satu per-satu dengan pengembalian. Berapa banyak cara yang mungkin untuk mengambil 10 kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang telah diambil sebelumnya?

Pembahasan:

Diketahui kartu bridge berjumlah 52 kartu. Kemudian perhatikan soal, disoal terdapat syarat yaitu kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang telah diambil sebelumnya. Dengan begitu didapat:

51  51  51  51  51  51  51  51  51  52   
= 51⁹ x 52

Ketika tidak ada syarat apapun untuk mengambil ke-10 kartu, maka ada 52¹⁰ cara.

Jadi, banyak cara untuk mengambil 10 kartu sedemikian sehingga kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang diambil sebelumnya adalah: 52¹⁰ - (51⁹ x 52) cara.

Koresponden Satu-satu

Pada koresponden satu-satu adalah suatu teknik lain untuk menghitung dilakukan dengan cara mengganti masalah yang sedang diselesaikan dengan masalah lain yang diketahui memiliki jumlah objek yang sama.

Soal 10

Suatu pertandingan bola basket dengan sistem gugur diikuti 101 regu. Dalam sistem tersebut, regu yang kalah akan langsuung gugur dan regu yang menang akan maju ke babak berikutnya. Jika jumlah regu dalam suatu babak tertentu ganjil, maka ada 1 regu yang mendapatkan bye (menang tanpa bertanding). Berapa banyak keseluruhan pertandingan yang harus dilakukan untuk mendapatkan satu regu yang menjadi juara?

Pembahasan:

Permasalahan soal diatas dapat diselesaikan menggunakan dua cara, yaitu cara langsung dan dengan koresponden satu-satu.

• Dengan cara langsung

Babak I : 101 regu, 50 menang 1 bye

Babak II : 51 regu, 25 menang 1 bye

Babak III : 26 regu, 13 menang 0 bye

Babak IV : 13 regu, 6 menang 1 bye

Babak V : 7 regu, 3 menang 1 bye

Babak VI : 4 regu, 2 menang 0 bye

Babak VII : 2 regu (Final), 1 menang

Jadi, jumlah pertandingan yang dilakukan untuk menentukan 1 juara yaitu: 50 + 25 + 13 + 6 + 3 + 2 + 1 = 100 kali.

• Dengan koresponden satu-satu

Babak I : 101 regu, 50 regu kalah

Babak II : 51 regu, 25 regu kalah

Babak III : 26 regu, 13 regu kalah

Babak IV : 13 regu, 6 regu kalah

Babak V : 7 regu, 3 regu kalah

Babak VI : 4 regu, 2 regu kalah

Babak VII : 2 regu, 1 regu kalah

Jadi, jumlah regu yang kalah yaitu: 50 + 25 + 13 + 6 + 3 + 2 + 1 = 100 regu kalah. Atau bisa menggunakan rumus cepat (n - 1) dimana n adalah regu.

(n - 1) = 101 - 1 = 100 kali pertandingan.

Soal-Soal Latihan

1. Misalkan 2 buah dadu yang berbeda warna dilontarkan. Berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah mata datu genap? Bagaimana jika kedua dadu berwarna sama?

2. Berapa banyak kode barang yang dapat dibuat menggunakan 1 atau 2 atau 3 huruf yang diikuti oleh 4 angka?

3. Sebuah surat berantai dikirimkan kepada 10 orang di minggu pertama tahun tersebut. Minggu berikutnya setiap orang yang menerima akan mengirimkan kepada 10 orang yang lain, dan seterusnya. Berapa banyak orang yang menerima surat tersebut setelah 10 minggu? Pada akhir tahun?

4. Suatu kemeja merek tertentu memiliki 12 warna pilihan, memiliki versi untuk pria dan wanita, serta 3 ukuran untuk tiap-tiap versi. Berapa banyak tipe kemeja yang dibuat?

5. Berapa banyak nomor telepon yang bisa dibuat jika nomor tersebut terdiri dari 7 digit, dua digit pertama antara 2 hingga 9, digit ketiga antara 1 hingga 9, dan digit sisanya bebas?

6. Suatu kode akses komputer terdiri dari 3 huruf dengan mengizinkan perulangan. Beraa banyak di antara kode-kode tersebut yang perulangan huruf?

7. Ada 5 jalan berbeda dari kota A ke kota B, 3 jalan berbeda dari kota B ke kota C, dan 3 jalan berbeda dari kota A langsung ke kota C.

• (a) Berapa banyak cara yang ada untuk bepergian dari A ke C lewat B?
• (b) Berapa banyak cara yang ada untuk bepergian dari A ke C secara keseluruhan?
• (c) Berapa banyak cara yang ada untuk bepergian dari A ke C dan kemudian kembali ke A lagi?
• (d) Berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C dan kembali lagi ke A dengan selalu melewati B, baik waktu berangkat maupun pulang?
• (e) Berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C lewat B dan kembali dari C langsung ke A?
• (f) Berapa banyak perjalanan berbeda dari A langsung ke C dan kembali lagi ke A dengan melewati B?
• (g) Berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C dan kembali lagi ke A dengan melewati B paling sedikit satu kali?
• (h) Misalkan jalan yang sudah dilalui tidak boleh dipakai kembali, maka berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C melewati B dan kembali lagi ke A dengan melewati B lagi?
• (i) Dengan memakai asumsi dalam (h), berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C dan kembali lagi ke A?

Untuk pembahasan soal-soal latihan, up nanti malam.

Share this post