Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I
Misalkan G himpunan tak kosong dan
operasi yang didefinisikan pada G.
dinamakan grub apabila:
1. Operasi
bersifat tertutup
2. Operasi
bersifat asosiatif
3. Terdapat e ∈ G sehingga e
x = x
e = x, untuk setiap x ∈ G. (dentitas)
4. Untuk setiap a ∈ G terdapat a ∈ G dengan sifat a'
a = a
a' = e. (Invers)
Keterangan:
e = elemen netral atau elemen identitas.
a = invers dari a (simbol
)
Definisi 2
Grub
dinamakan grub abelian (komutatif) apabila a
b = b
a untuk setiap a,b ∈ G.
dan juga harus memenuhi ke-4 sifat pada definisi 1.
Contoh:
Didefinisikan operasi
pada
dengan a
b =
. Buktikan bahwa
grub abelian!
Jawab:
1. Adib
bersifat tertutup
Ambil sembarang a,b ∈
.
Jelas a
b =
∈
.
Jadi bersifat tertutup.
2. Adib
bersifat asosiatif
Ambi sembarang a,b,c
.
Karena (a
b)
c = a
(b
c) maka operasi
bersifat asosiatif.
3. Adib mempunyai elemen netral (Identitas)
Ambil sembarang a ∈
.
Karena a
e = e
a = a maka operasi
bersifat identitas atau mempunyai elemen netral.
4. Adib mempunyai invers
Ambil sembarang a ∈
.
Jadi setiap a ∈
mempunyai invers 
5. Adib
bersifat komutatif
Ambil sembarang a,b ∈
.
Karena a
b = b
a maka operasi
bersifat komutatif.
Berdasarkan 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disimpulkan bahwa
merupakan grub abelian.
B. Subgrub
Definisi
Jika G grub dan H ⊂ G maka H dinamakan subgrub apabila H merupakan grub terhadap operasi yang didefinisikan pada G.
Teorema
Diketahui G grub dan H ⊂ G. H subgrub G jika dan hanya jika
1. H bersifat tertutup terhadap operasi pada G.
2. e ∈ H.
3.
∈ H untuk setiap a ∈ H.
Materi diatas diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.
Baca Juga:
B. Subgrub
Definisi
Jika G grub dan H ⊂ G maka H dinamakan subgrub apabila H merupakan grub terhadap operasi yang didefinisikan pada G.
Teorema
Diketahui G grub dan H ⊂ G. H subgrub G jika dan hanya jika
1. H bersifat tertutup terhadap operasi pada G.
2. e ∈ H.
3.
Materi diatas diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.
Baca Juga:
0 Response to "Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I"
Post a Comment