Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I

https://www.pixabay.com
A. Grub dan Grub Abelian
Definisi 1
Misalkan G himpunan tak kosong dan  operasi yang didefinisikan pada G.  dinamakan grub apabila:
1. Operasi  bersifat tertutup
2. Operasi   bersifat asosiatif
3. Terdapat e ∈ G sehingga e  x = x  e = x, untuk setiap x ∈ G. (dentitas)
4. Untuk setiap a ∈ G terdapat a ∈ G dengan sifat a'  a = a  a' = e. (Invers)

Keterangan:
e = elemen netral atau elemen identitas.
a = invers dari a (simbol )

Definisi 2
Grub  dinamakan grub abelian (komutatif) apabila a  b = b  a untuk setiap a,b ∈ G.
dan juga harus memenuhi ke-4 sifat pada definisi 1.

Contoh:
Didefinisikan operasi  pada  dengan a  b = . Buktikan bahwa  grub abelian!

Jawab:
1. Adib  bersifat tertutup
Ambil sembarang a,b ∈ .
Jelas a  b =  ∈ .
Jadi bersifat tertutup.

2. Adib  bersifat asosiatif
Ambi sembarang a,b,c .



Karena (ab)c = a(bc) maka operasi  bersifat asosiatif.

3. Adib mempunyai elemen netral (Identitas)
Ambil sembarang a ∈ .



Karena ae = ea = a maka operasi  bersifat identitas atau mempunyai elemen netral.

4. Adib mempunyai invers
Ambil sembarang a ∈ .


Jadi setiap a ∈  mempunyai invers 

5. Adib  bersifat komutatif
Ambil sembarang a,b ∈ .

Karena ab = ba maka operasi  bersifat komutatif.

Berdasarkan 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disimpulkan bahwa  merupakan grub abelian.

B. Subgrub
Definisi
Jika G grub dan H ⊂ G maka H dinamakan subgrub apabila  H merupakan grub terhadap operasi yang didefinisikan pada G.

Teorema
Diketahui G grub dan H ⊂ G. H subgrub G jika dan hanya jika
1. H bersifat tertutup terhadap operasi pada G.
2. e ∈ H.
3.  ∈ H untuk setiap a ∈ H.

Materi diatas diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.

Baca Juga:

0 Response to "Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel