Kumpulan Soal Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I

https://www.pixabay.com

Selidiki apakah soal dibawah ini merupakan grup:
1. Didefinisikan operasi $\ast$ pada R $\ast$ dengan a $\ast$ b = $\frac{a}{b}$ .

2. Didefinisikan operasi $\ast$ pada $R^+$ dengan a $\ast$ b = $\sqrt{ab}$ .

3. Operasi $\ast$ pada Z dengan a $\ast$ b = 2a - b.

Jawaban soal no 1

1. Adib $\ast$ bersifat tertutup

Ambil sembarang a,b ∈ R $\ast$ .

Jelas a $\ast$ b = $\frac{a}{b}$ ∈ R $\ast$

Jadi bersifat tertutup.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ R $\ast$ .

$Jelas~(a\ast b)\ast c=\frac{a}{b}\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\frac{a}{b}}{c}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{a}{b}~.~\frac{1}{c}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{a}{bc}$

$Jelas~a\ast (b\ast c)=a\ast \frac{b}{c}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{a}{\frac{b}{c}}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a~.~\frac{c}{b}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{ac}{b}$
Karena (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Karena operasi asosiatif tidak terpenuhi maka dapat disimpulkan bahwa $\left \langle R\ast ,\ast \right \rangle$ bukan merupakan grub.

Jawaban soal no 2

1. Adib $\ast$ bersifat tertutup

Ambil sembarang a,b ∈ $R^+$ .

Jelas a $\ast$ b = $\sqrt{ab}$ ∈ $R^+$

Jadi bersifat tertutup.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ $R^+$ .

$Jelas~(a\ast b)\ast c=\sqrt{ab}\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{\sqrt{ab}~.~c}\\\\ ~~~~~Jelas~a\ast (b\ast c)=a\ast \sqrt{bc}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{a.\sqrt{bc}}$
Karena (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Karena operasi asosiatif tidak terpenuhi maka dapat disimpulkan bahwa $\left \langle R^+ ,\ast \right \rangle$ bukan merupakan grub.

Jawaban soal no 3

1. Adib $\ast$ bersifat tertutup

Ambil sembarang a,b ∈ Z.

Jelas a $\ast$ b = 2a - b ∈ Z.

Jadi bersifat tertutup.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ Z.
$Jelas~(a\ast b)\ast c=(2a-b)\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2.(2a-b)-c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4a-2b-c$

$Jelas~a\ast (b\ast c)=a\ast (2b-c)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2a-(2b-c)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2a-2b+c$

Karena (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Karena operasi asosiatif tidak terpenuhi maka dapat disimpulkan bahwa $\left \langle Z ,\ast \right \rangle$ bukan merupakan grub.

Iklan Bawah Header

Kumpulan Soal Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I

0 Response to "Kumpulan Soal Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel