Kumpulan Contoh Soal Operasi Biner - Struktur Aljabar I

https://www.pixabay.com

Berikut ini adalah kumpulan soal operasi biner:
Pada soal dibawah ini. Selidiki apakah operasi $\ast$ bersifat komutatif dan asosiatif.
1. Operasi $\ast$ pada R dengan a $\ast$ b = $a^2$ + ab + 1.
2. Operasi $\ast$ pada Z dengan a $\ast$ b = 2a + b + 2.
3. Didefinisikan $\ast$ pada $Z^+$ dengan a $\ast$ b = $10^{ab}$
4. Didefinisikan $\ast$ pada Q dengan a $\ast$ b = a.(b+1)

Jawaban soal no 1
1. Adib $\ast$ bersifat komutatif
Ambil sembarang a,b ∈ R.
Jelas a $\ast$ b = $a^2$ + ab + 1

b $\ast$ a = $b^2$ + ba + 1

Karena, a $\ast$ b ≠ b $\ast$ a maka operasi $\ast$ tidak bersifat komutatif.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ R.
$Jelas~~(a\ast b)\ast c=(a^2+ab+1)\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(a^2+ab+1)^2+((a^2+ab+1)~.~c)+1\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^2+2ab+1)~+\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(a^2c+abc+c)+1\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^2+2ab+a^2c~+\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~abc+c+2$

$Jelas~~a\ast (b\ast c)=a\ast (b^2+bc+1)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^2+a(b^2+bc+1)+1\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^2+ab^2+abc+a+1$

Karena, (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ bersifat tidak asosiatif.

Jawaban soal no 2

1. Adib $\ast$ bersifat komutatif

Ambil sembarang a,b ∈ Z.

Jelas a $\ast$ b = 2a + b +2

b $\ast$ a = 2b + a +2

Karena, a $\ast$ b ≠ b $\ast$ a maka operasi $\ast$ tidak bersifat komutatif.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ Z.

$Jelas~~(a\ast b)\ast c=(2a+b+2)*c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2.(2a+b+2)+c+2\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4a+2b+4+c+2\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4a+2b+c+6$

$Jelas~~a\ast (b\ast c)=a\ast(2b+c+2)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2a+(2b+c+2)+2\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=2a+2b+c+4$
Karena, (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Jawaban soal no 3

1. Adib $\ast$ bersifat komutatif

Ambil sembarang a,b ∈ $Z^+$ .

Jelas a $\ast$ b = $10^{ab}$
b $\ast$ a = $10^{ba}$
Karena, a $\ast$ b = b $\ast$ a maka operasi $\ast$ bersifat komutatif.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ $Z^+$ .
$Jelas~~(a\ast b)\ast c=(10^{ab})\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=10^{10^{ab}.c}$

$Jelas~~a\ast (b\ast c)=a\ast (10^{bc})\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=10^{a.10^{bc}}$
Karena, (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Jawaban soal no 4

1. Adib $\ast$ bersifat komutatif

Ambil sembarang a,b ∈ Q.

Jelas a $\ast$ b = a.(b + 1)
= ab + a

b $\ast$ a = b.(a + 1)
= ba + b
Karena, a $\ast$ b ≠ b $\ast$ a maka operasi $\ast$ tidak bersifat komutatif.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambil sembarang a,b,c ∈ Q.

$Jelas~~(a\ast b)\ast c=[a.(b+1)]\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(a.(b+1))~.~(c+1)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(ab+a)~.~(c+1)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=abc+ab+ac+a$

$Jelas~~a\ast (b\ast c)=a\ast (b.(c+1))\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a.(b.(c+1)+1)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a.(bc+b+1)\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=abc+ab+a$
Karena, (a $\ast$ b) $\ast$ c ≠ a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ tidak bersifat asosiatif.

Baca Juga:

Iklan Bawah Header

Kumpulan Contoh Soal Operasi Biner - Struktur Aljabar I

0 Response to "Kumpulan Contoh Soal Operasi Biner - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel