Kumpulan Soal Grup Siklik - Struktur Aljabar I

https://www.pixabay.com

Berikut ini adalah kumpulan soal grub siklik:
1. Cari grub siklik berikut ini $\left \langle Z_7,+ \right \rangle$
2. Cari grub siklik berikut ini $\left \langle Z_{12},+ \right \rangle$

Jawaban No 1
Invers dari $\bar{1}$ adalah $\bar{6}$
   $\bar{2}$ adalah $\bar{5}$
   $\bar{3}$ adalah $\bar{4}$
   $\bar{4}$ adalah $\bar{3}$
   $\bar{5}$ adalah $\bar{2}$
   $\bar{6}$ adalah $\bar{1}$

1. Untuk a = $\bar{1}$
Diperoleh:
   $\bar{1}^0=\bar{0}\\ ~~~~~\bar{1}^1=\bar{1}~~~~~~~~~~~,~\bar{1}^{-1}=\bar{6}\\ ~~~~~\bar{1}^2=\bar{2}~~~~~~~~~~~,~\bar{1}^{-2}=\bar{5}\\\ ~~~~~\bar{1}^3=\bar{3}~~~~~~~~~~~,~\bar{1}^{-3}=\bar{4}\\\ ~~~~~\bar{1}^4=\bar{4}~~~~~~~~~~~,~\bar{1}^{-4}=\bar{3}\\\ ~~~~~\bar{1}^5=\bar{5}~~~~~~~~~~~,~\bar{1}^{-5}=\bar{2}\\\ ~~~~~\bar{1}^6=\bar{6}~~~~~~~~~~~,~\bar{1}^{-6}=\bar{1}\\\ ~~~~~\bar{1}^7=\bar{7}=\bar{0}~~~~~~,~\bar{1}^{-7}=\bar{0}\\\ ~~~~~\bar{1}^8=\bar{8}=\bar{1}~~~~~~,~\bar{1}^{-8}=\bar{6}\\$
Ternyata { $\bar{1}^n$ / n ∈ Z } = { $\bar{0}$ , $\bar{1}$ , $\bar{2}$ , $\bar{3}$ , $\bar{4}$ , $\bar{5}$ , $\bar{6}$ }
Jadi, $Z_7$ siklik dengan generator $\bar{1}$ .

2. Untuk a = $\bar{2}$
Diperoleh:
   $\bar{2}^0=\bar{0}\\ ~~~~~\bar{2}^1=\bar{2}~~~~~~~~~~~,~\bar{2}^{-1}=\bar{5}\\ ~~~~~\bar{2}^2=\bar{4}~~~~~~~~~~~,~\bar{2}^{-2}=\bar{3}\\\ ~~~~~\bar{2}^3=\bar{6}~~~~~~~~~~~,~\bar{2}^{-3}=\bar{1}\\\ ~~~~~\bar{2}^4=\bar{8}=\bar{1}~~~~~~,~\bar{2}^{-4}=\bar{6}\\\ ~~~~~\bar{2}^5=\bar{10}=\bar{3}~~~~~,~\bar{2}^{-5}=\bar{4}\\\ ~~~~~\bar{2}^6=\bar{12}=\bar{5}~~~~~,~\bar{2}^{-6}=\bar{2}\\\ ~~~~~\bar{2}^7=\bar{14}=\bar{0}~~~~~,~\bar{2}^{-7}=\bar{0}\\\ ~~~~~\bar{2}^8=\bar{16}=\bar{2}~~~~~,~\bar{2}^{-8}=\bar{5}\\$
Ternyata { $\bar{2}^n$ / n ∈ Z } = { $\bar{0}$ , $\bar{1}$ , $\bar{2}$ , $\bar{3}$ , $\bar{4}$ , $\bar{5}$ , $\bar{6}$ }
Jadi, $Z_7$ siklik dengan generator $\bar{2}$ .

3. Untuk a = $\bar{3}$
Diperoleh:

$\bar{3}^0=\bar{0}\\ ~~~~~\bar{3}^1=\bar{3}~~~~~~~~~~~,~\bar{3}^{-1}=\bar{4}\\ ~~~~~\bar{3}^2=\bar{6}~~~~~~~~~~~,~\bar{3}^{-2}=\bar{1}\\\ ~~~~~\bar{3}^3=\bar{9}=\bar{2}~~~~~~,~\bar{3}^{-3}=\bar{5}\\\ ~~~~~\bar{3}^4=\bar{12}=\bar{5}~~~~~,~\bar{3}^{-4}=\bar{2}\\\ ~~~~~\bar{3}^5=\bar{15}=\bar{1}~~~~~,~\bar{3}^{-5}=\bar{6}\\\ ~~~~~\bar{3}^6=\bar{18}=\bar{4}~~~~~,~\bar{3}^{-6}=\bar{3}\\\ ~~~~~\bar{3}^7=\bar{21}=\bar{0}~~~~~,~\bar{3}^{-7}=\bar{0}\\\ ~~~~~\bar{3}^8=\bar{24}=\bar{3}~~~~~,~\bar{3}^{-8}=\bar{4}\\$
Ternyata { $\bar{3}^n$ / n ∈ Z } = { $\bar{0}$ , $\bar{1}$ , $\bar{2}$ , $\bar{3}$ , $\bar{4}$ , $\bar{5}$ , $\bar{6}$ }
Jadi, $Z_7$ siklik dengan generator $\bar{3}$ .

Kesimpulan:
$\left \langle Z_7,+ \right \rangle$ grub siklik dengan generator $\bar{1}$ dan $\bar{6}$ , $\bar{2}$ dan $\bar{5}$ , serta $\bar{3}$ dan $\bar{4}$ .
Subgrup di $\left \langle Z_7,+ \right \rangle$

{ $\bar{0}$ } siklik dengan generator $\bar{0}$ .
{ $\bar{0}$ , $\bar{1}$ , $\bar{2}$ , $\bar{3}$ , $\bar{4}$ , $\bar{5}$ , $\bar{6}$ } siklik dengan generator $\bar{1}$ , $\bar{2}$ , $\bar{3}$ , $\bar{4}$ , $\bar{5}$ , dan $\bar{6}$ .

Jawaban No 2
Cara mengerjakan $\left \langle Z_{12},+ \right \rangle$ sama dengan pengerjaan $\left \langle Z_7,+ \right \rangle$ . Saya tidak menggunakan proses, karena prosesnya terlalu panjang, jadi tidak sempat menulis. Namun jangan kawatir saya akan memberikan kesimpulannya untuk mempermudah.

Invers dari $\bar{1}$ adalah $\bar{11}$
   $\bar{2}$ adalah $\bar{10}$
   $\bar{3}$ adalah $\bar{9}$
   $\bar{4}$ adalah $\bar{8}$
   $\bar{5}$ adalah $\bar{7}$
   $\bar{6}$ adalah $\bar{6}$
   $\bar{7}$ adalah $\bar{5}$
   $\bar{8}$ adalah $\bar{4}$
$\bar{9}$ adalah $\bar{3}$
   $\bar{10}$ adalah $\bar{2}$

$\bar{11}$ adalah $\bar{1}$

1. Untuk a = $\bar{1}$

Diperoleh: grup siklik

2. Untuk a = $\bar{2}$

Diperoleh: tidak siklik

3. Untuk a = $\bar{3}$

Diperoleh: tidak siklik

4. Untuk a = $\bar{4}$

Diperoleh: tidak siklik

5. Untuk a = $\bar{5}$

Diperoleh: grup siklik

6. Untuk a = $\bar{6}$

Diperoleh : tidak siklik

Kesimpulan:

$\left \langle Z_{12},+ \right \rangle$ merupakan grup siklik dengan generator $\bar{1}$ dan $\bar{11}$ , $\bar{5}$ dan $\bar{7}$ .

$\bar{2}$ bukan generator $Z_{12}$ , karena $\bar{1}$ ∈ Z, tetapi ∄n ∈ Z sehingga ( $\bar{2}$ )^n = $\bar{1}$ .
$\bar{3}$ bukan generator $Z_{12}$ , karena $\bar{1}$ ∈ Z, tetapi ∄n ∈ Z sehingga ( $\bar{3}$ )^n = $\bar{1}$ .
$\bar{4}$ bukan generator $Z_{12}$ , karena $\bar{1}$ ∈ Z, tetapi ∄n ∈ Z sehingga ( $\bar{4}$ )^n = $\bar{1}$ .
$\bar{6}$ bukan generator $Z_{12}$ , karena $\bar{1}$ ∈ Z, tetapi ∄n ∈ Z sehingga ( $\bar{6}$ )^n = $\bar{1}$ .

Subgrup di $Z_{12}$

{ $\bar{0}$ } siklik dengan generator $\bar{0}$
{ $\bar{0}$ , $\bar{2}$ , $\bar{4}$ , $\bar{6}$ , $\bar{8}$ } siklik dengan generator $\bar{2}$ atau $\bar{10}$
{ $\bar{0}$ , $\bar{3}$ , $\bar{6}$ , $\bar{9}$ } siklik dengan generator $\bar{3}$ atau $\bar{9}$
{ $\bar{0}$ , $\bar{4}$ , $\bar{8}$ } siklik dengan generator $\bar{4}$ atau $\bar{8}$
{ $\bar{0}$ , $\bar{6}$ } siklik dengan generator $\bar{6}$

Semoga Bermanfaat Gaesss...

Iklan Bawah Header

Kumpulan Soal Grup Siklik - Struktur Aljabar I

0 Response to "Kumpulan Soal Grup Siklik - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel