Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi Matriks

Bachtiarmath.com | pada kesempatan ini bachtiarmath.com akan membahas tentang salah satu bab aljabar linear yang berjudul Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi Matriks. Materi ini bisa kalian dapatkan ketika mengambil mata kuliah aljabar linear II. Untuk mengetahui lebih lanjut bagaimana sih cara mencari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi matriks. Mari simak penjelasan berikut ini:

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 1.1

Misalkan A adalah matriks berordo n x n. Vektor  x ∈ Rn dan x ≠ 0 disebut vektor eigen jika terdapat λ bilangan real yang disebut nilai eigen sehingga memenuhi persamaan Ax = λx.

Dari definisi diatas dapat diketahui persyatan-persyaratan untuk nilai eigen maupun vektor eigen. Nilai eigen merupakan bilangan real, yang berarti dapat bernilai nol, negatif, dan juga positif, sedangkan vektor eigen x merupakan anggota dari Rn untuk Rnxn dan x bukan vektor nol.

Untuk mencari nilai eigen suatu matriks saya memakai cara Hamilton. Karena cara Hamilton, caranya itu sedikit mudah dan rumusnya mudah diingat. Berikut ini rumus mencari nilai eigen menggunakan cara Hamilton:

Rumus Hamilton matriks 2x2 yaitu:


∆t = t2 - tr(A).t + |A|

Rumus Hamilton matriks 3x3 yaitu: 


∆t = t3 - tr(A).t2 + (A11 + A22 + A33).t - |A|

Keterangan:
tr(A) = trase A
|A| = determinan A


Diagonalisasi

Untuk menyederhanakan suatu perhitungan numerik yang melibatkan matriks, kita dapat memanfaatkan suatu sifat bentuk matriks yang disebut diagonalisasi.

Definisi 1.2

Misalkan matriks A berordo n x n. Matriks ini disebut dapat didiagonalisasikan jika terdapat matriks Pnxn sehingga perkalian tiga matriks P-1AP membentuk matriks diagonal.

Adapun teorema tentang diagonalisasi yaitu: "Matriks Anxn dapat didiagonalisasikan jika dan hanya jika n vektor eigen yang bebas linear".

Itulah tadi sedikit penjelasan tentang materi nilai eigen, vektor eigen dan diagonalisasi suatu matriks. Mungkin sedikit agak bingung dan tidak paham, untuk lebih pahamnya mari langsung ke contoh soal saja.


Contoh 1.1

A =  R2   R2 tentukan semua nilai eigen dan ruang eigen dimana: A(x, y) = (3x + 3y, x + 5y)

Jawab:

a). Nilai Eigen


Mencari nilai eigen cara Hamilton:
tr(A) = 3 + 5 = 8
|A| = ad - bc = 15 - 3 = 12

Kemudian subsitusikan tr(A) dan |A| ke ∆t:
∆t = t2 - tr(A).t + |A|
∆t = t2 - 8t + 12

Kemudian faktorkan, sehingga didapatkan pemfaktoran dari hasil ∆t: (t - 6).(t - 2)
Jadi, nilai eigennya adalah λ1 = 6  dan  λ2 = 2


b). Vektor Eigen
  • Untuk λ1 = 6 
(A - λI).x = 0


Didapatkan persamaan:
-3x1 + 3x2 = 0
   x1  =  -3x2/-3
   x1   =  x2  

Misalkan:
x2  =  u, maka
x1  =  u


  • Untuk λ1 = 2
(A - λI).x = 0


Didapatkan persamaan:
x1 + 3x2 = 0
x1  =  -3x2

Misalkan:
x2  =  v, maka
x1  =  -3v


Anggap s adalah basis dari ruang eigen, maka s = [u, v]. Jadi, s = [(1, 1), (-3, 1)]


Contoh 1.2

Tentukan:
a.  Nilai Eigen
b.  Vektor Eigen/yang bebas linear
c.  Tentukan matriks ortogonal P bahwa D = P-1AP adalah diagonal.

Jawab:

a). Nilai Eigen

Mencari nilai eigen cara Hamilton:
tr(A) = 4 + 5 + 2 = 11


Kemudian subsitusikan tr(A), A11, A22, A33, dan |A| ke ∆t:

∆t = t3 - tr(A).t2 + (A11 + A22 + A33).t - |A|
∆t = t3 - 11t2 + (12 + 9 + 18).t - 45
∆t = t3 - 11t2 + 39t - 45

Kemudian faktorkan:
(t - 3) (t2 - 8t + 15)
(t - 3) (t - 3) (t - 5)
(t - 3)2 (t - 5)

Jadi, nilai eigennya adalah λ1,2 = 3  dan  λ3 = 5


b). Vektor Eigen
  • Untuk λ1,2 = 3 
(A - λI).x = 0


Didapatkan persamaan:
x1 + x2 - x3 = 0
x1  =  -x2 + x3 

Misalkan:
x3 =  b
x2 =  a, maka
x1 =  -a + b


  • Untuk λ3 = 5
(A - λI).x = 0


Didapatkan persamaan:
-x1 + x2 - x3 = 0
               x1  x2 - x3 

2x2 - 4x3  =  0
         2x2  =  4x3 
           x2  =  4x3/2
           x2  =  2x3

Misalkan:
x3 =  c, maka
x2 =  2c
x1 =  2c - c = c

Jadi, Vektor Eigennya adalah:
 

c). Diagonalisasi

Langkah-langkah Mencari D
  1. Tentukan P-1 , yaitu dengan mencari determinan dari P dan adjoin P.
  2. Setelah itu baru cari D = P-1 AP


0 Response to "Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi Matriks"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel