Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) - Aljabar Linear
Materi Ruang Hasil Kali Dalam atau biasa disebut RHKD. Pada materi RHKD ini ada beberapa subbab materi yang harus kita kuasai yaitu antara lain:
- Definisi RHKD dan Contoh Soal RHKD
- Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor dan Besar Sudut RHKD
- Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

Materi-materi diatas dapat kalian dapatkan ketika mengambil mata kuliah aljabar linear II. Dan pada kali bachtiarmath.com hanya akan membahas sekilas tentang definisi RHKD dan Contoh soal RHKD. Untuk Mencari besar sudut RHKD, Basis ortogonal dan ortonormal akan dibahas pada kesempatan selanjutnya.
Definisi RHKD
Misalkan V ruang vektor. Operasi yang mengaitkan anggota V, misalnya u, v ∈ V dengan bilangan real, yang ditulis sebagai <u, v>, disebut hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma berikut.
u,v ∈ V, berlaku <u,v> = <v,u> {kesimetrian}
u,v,w ∈ V, berlaku <u+w, v> = <u, v> + <w, v> {penjumlahan}
u,v ∈ V, dan
k ∈ R, berlaku <ku,v> = k <u,v> {kehomogenan}
u ∈ V, berlaku <u,u> ≥ 0 jika dan hanya jika u = 0 {kepositifan}
Sebagai contoh, jelas bahwa hasil-kali titik <u,v> = u1v1 + u2v2 + ... + unvn untuk u,v ∈ Rn merupakan hasil-kali dalam.
Bentuk lain dari hasil kali titik adalah hasil-kali titik yang diberi bobot, misalnya k1, k2, k3, ..., kn bilangan real positif, hasil kali titik yang diboboti dinyatakan dalam bentuk.
<u,v> = k1u1v1 + k2u2v2 + k3u3v3 + ... + knunvn untuk u,v ∈ Rn
Bukti:
- (aksioma 1) Ambil u,v ∈ Rn maka
<u,v> = k1u1v1 + k2u2v2 + ... + knunvn , {komutatif terhadap perkalian}
<u,v> = k1v1u1 + k2v2u2 + ... + knvnun , {definisi hasil-kali titik yang diboboti}
Jadi, <u,v> = <v,u>
- (aksioma 2) Ambil u,v,w ∈ Rn maka
<u +w, v> = k1(u1 + w1)v1 + k2(u2 + w2)v1 + ... + kn(un + wn)vn {sifat distribusi bilangan real}
<u+w, v> = k1(u1v1 + w1v1) + k2(u2v2 + w2v2) + ... + kn(unvn + wnvn) {distribusi bilangan real}
<u+w, v> = (k1u1v1 + k1w1v1) + (k2u2v2 + k2w2v2) + ...+ (knunvn + knwnvn) {asosiatif bilangan real}
<u+w, v> = (k1u1v1 + k1w1v1) + (k2u2v2 + k2w2v2) + ...+ (knunvn + knwnvn) {asosiatif bilangan real}
<u+w, v> = (k1u1v1 + k2u2v2 + ... + knunvn) + (k1w1v1 + k2w2v2 + ... + knwnvn) {definisi <u,v>}
Jadi, <u+w, v> = <u,v> + <w,v>
- (aksioma 3) Ambil u,v ∈ Rn dan ambil l ∈ R maka
<lu,v> = k1 lu1v1 + k2 lu2v2 + ... + kn lunvn {distribusi bilangan real}
<lu,v> = l(k1u1v1 + k2u2v2 + ... + knunvn ) {definisi <u,v>}
{ingat kembali bahwa lu = (lu1, lu2, ..., lun)}
Jadi, <lu,v> = l <u,v>
- (aksioma 4) Ambil u,v ∈ Rn maka
<u,u> = k1u1u1 + k2u2u2 + ... + knunun
<u,u> = k1 u12 + k2 u22 + ... + kn un2 ≥ 0,
dan bernilai nol jika dan hanya jika u1 = u2 = ... = un = 0 yang berarti u = 0.
Jadi, keempat aksioma terpenuhi.
Contoh 1.1
Apakah <u,v> = 3u1 v1 + 2u2 v2 merupakan RHKD?
Jawab:
Misalkan:
Apakah <u,v> = 2u1 v1 + 3u2 v2 + u3 v3 merupakan RHKD?
1. <u,v> = 2u1 v1 + 3u2 v2 + u3 v3
dan bernilai nol jika dan hanya jika u1 = u2 = ... = un = 0 yang berarti u = 0.
Jadi, keempat aksioma terpenuhi.
Contoh 1.1
Apakah <u,v> = 3u1 v1 + 2u2 v2 merupakan RHKD?
Jawab:
Misalkan:
- u = <u1, u2>
- v = <v1, v2>
- w = <w1, w2>
1. <u,v> = 3u1 v1 + 2u2 v2
= 3v1 u1 + 2v2 u2
= <v, u>
2. <u+w, v> = 3(u1 + w1)v1 + 2(u2 + w2)v2
= 3u1v1 + 3w1v1 + 2u2v2 + 2w2v2
= (3u1v1 + 2u2v2) + (3w1v1 + 2w2v2)
= <u,v> + <w,v>
3. <ku, v> = 3.ku1 v1 + 2.ku2 v2
= k.(3u1 v1 + 2u2 v2)
= k.<u, v>
4. <u, u> = 3u1 u1 + 2u2 u2
= 3u12 + 2u22 ≥ 0
Karena keempat aksioma terpenuhi, maka <u,v> = 3u1 v1 + 2u2 v2 merupakan RHKD.
Contoh 1.2
Apakah <u,v> = 2u1 v1 + 3u2 v2 + u3 v3 merupakan RHKD?
Jawab:
Misalkan:
- u = <u1, u2, u3>
- v = <v1, v2, v3>
- w = <w1, w2, w3>
= 2v1 u1 + 3v2 u2 + v3 u3
= <v, u>
2. <u+w, v>
= 2(u1 + w1)v1 + 3(u2 + w2)v2 + (u3 + w3)v3
= 2u1v1 + 2w1v1 + 3u2v2 + 3w2v2 + u3v3 + w3v3
= (2u1v1 + 3u2v2 + u3v3) + (2w1v1 + 3w2v2 + w3v3)
= <u,v> + <w,v>
3. <ku, v> = 2.ku1 v1 + 3.ku2 v2 + ku3 v3
= k.(2u1 v1 + 3u2 v2 + u3 v3 )
= k.<u, v>
4. <u, u> = 2u1 u1 + 3u2 u2 + u3 u3
= 2u12 + 3u22 +u32 ≥ 0
Karena keempat aksioma terpenuhi, maka <u,v> = 2u1 v1 + 3u2 v2 + u3 v3 merupakan RHKD.
Contoh 1.3
Untuk u,v ∈ P2 didefinisikan operasi bernilai real berikut.
<u, v> = <a0 + a1x + a2x2, b0 + b1x + b2x2> = a0b0 + a1b1 + a2b2
Apakah operasi ini hasil-kali dalam?Jawab:
Misalkan:
- p = p0 + p1x + p2x2
- q = q0 + q1x + q2x2
- r = r0 + r1x + r2x2
1. <p, q> = p0 q0 + p1 q1 + p2 q2
= q0 p0 + q1 p1 + q2 p2
= <q, p>
2. <p+q, r>
= (p0 + q0)r0 + (p1 + q1)r1 + (p2 + q2)r2
= p0r0 + q0r0 + p1r1 + q1r1 + p2r2 + q2r2
= (p0r0 + p1r1 + p2r2 ) + (q0r0 + q1r1 + q2r2)
= <p, r> + <q, r>
3. <kp, q> = kp0 q0 + kp1 q1 + kp2 q2
= k.(p0 q0 + p1 q1 + p2 q2)
= k.<p, q>
4. <p, p> = p0 p0 + p1 p1 + p2 p2
= p02 + p12 + p22 + ≥ 0
Karena keempat aksioma terpenuhi. Jadi, operasi real dari polinom diatas merupakan hasil-kali dalam.
Contoh 1.4
Jika p = (0, 1, -1, 2) dan q = (3, -2, 4, 1) hitunglah k sehingga k<p,q> = 4 dengan operasi hasil kali dalam!
<a, b> = a1 b1 + 4a2 b2 + a3 b3 + 5a4 b4
Jawab:
Diketahui:
- p = (0, 1, -1, 2)
- q = (3, -2, 4, 1)
<p, q> = p1 q1 + 4p2 q2 + p3 q3 + 5p4 q4
= 0.3 + (4.1.(-2)) + (-1).4 + (5.2.1)
= 0 - 8 - 4 + 10
= -2
Kemudian subs. hasil <p, q> ke k<p, q> = 4.
k<p, q> = 4
k. (-2) = 4
k = 4/-2
k = -2
Jadi, nilai k nya adalah -2
Kemudian subs. hasil <p, q> ke k<p, q> = 4.
k<p, q> = 4
k. (-2) = 4
k = 4/-2
k = -2
Jadi, nilai k nya adalah -2
👍
ReplyDeleteTrimakasih sudah berkunjung 😊
Delete