Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) - Aljabar Linear

Materi Ruang Hasil Kali Dalam atau biasa disebut RHKD. Pada materi RHKD ini ada beberapa subbab materi yang harus kita kuasai yaitu antara lain:

1. Definisi RHKD dan Contoh Soal RHKD
2. Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor dan Besar Sudut RHKD
3. Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

Materi-materi diatas dapat kalian dapatkan ketika mengambil mata kuliah aljabar linear II. Dan pada kali bachtiarmath.com hanya akan membahas sekilas tentang definisi RHKD dan Contoh soal RHKD. Untuk Mencari besar sudut RHKD, Basis ortogonal dan ortonormal akan dibahas pada kesempatan selanjutnya.

Definisi RHKD

Misalkan V ruang vektor. Operasi yang mengaitkan anggota V, misalnya u, v ∈ V dengan bilangan real, yang ditulis sebagai <u, v>, disebut hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma berikut.

1. u,v ∈ V, berlaku <u,v> = <v,u> {kesimetrian}
2. u,v,w ∈ V, berlaku <u+w, v> = <u, v> + <w, v> {penjumlahan}
3. u,v ∈ V, dan k ∈ R, berlaku <ku,v> = k <u,v> {kehomogenan}
4. u ∈ V, berlaku <u,u> ≥ 0 jika dan hanya jika u = 0 {kepositifan}

Sebagai contoh, jelas bahwa hasil-kali titik <u,v> = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n untuk u,v ∈ Rⁿ merupakan hasil-kali dalam.

Bentuk lain dari hasil kali  titik adalah hasil-kali titik  yang diberi bobot, misalnya k₁, k₂, k₃, ..., k_n bilangan real positif, hasil kali titik yang diboboti dinyatakan dalam bentuk.

<u,v> = k₁u₁v₁ + k₂u₂v₂ + k₃u₃v₃ + ... + k_nu_nv_n untuk u,v ∈ Rⁿ

Bukti: 

• (aksioma 1) Ambil u,v ∈ Rⁿ maka

<u,v> = k₁u₁v₁ + k₂u₂v₂ + ... + k_nu_nv_n , {komutatif terhadap perkalian}

<u,v> = k₁v₁u₁ + k₂v₂u₂ + ... + k_nv_nu_n , {definisi hasil-kali titik yang diboboti}

Jadi, <u,v> = <v,u>

• (aksioma 2) Ambil u,v,w ∈ Rⁿ maka

<u +w, v> = k₁(u₁ + w₁)v₁ + k₂(u₂ + w₂)v₁ + ... + k_n(u_n + w_n)v_n {sifat distribusi bilangan real}

<u+w, v> = k₁(u₁v₁ + w₁v₁) + k₂(u₂v₂ + w₂v₂) + ... + k_n(u_nv_n + w_nv_n) {distribusi bilangan real}

<u+w, v> = (k₁u₁v₁ + k₁w₁v₁) + (k₂u₂v₂ + k₂w₂v₂) + ...+ (k_nu_nv_n + k_nw_nv_n) {asosiatif bilangan real}

<u+w, v> = (k₁u₁v₁ + k₂u₂v₂ + ... + k_nu_nv_n) + (k₁w₁v₁ + k₂w₂v₂ + ... + k_nw_nv_n) {definisi <u,v>}

Jadi, <u+w, v> = <u,v> + <w,v>

• (aksioma 3) Ambil u,v ∈ Rⁿ dan ambil l ∈ R maka

<lu,v> = k₁ lu₁v₁ + k₂ lu₂v₂ + ... + k_n lu_nv_n {distribusi bilangan real}

<lu,v> = l(k₁u₁v₁ + k₂u₂v₂ + ... + k_nu_nv_n ) {definisi <u,v>}

{ingat kembali bahwa lu = (lu₁, lu₂, ..., lu_n)}

Jadi, <lu,v> = l <u,v>

• (aksioma 4) Ambil u,v ∈ Rⁿ maka

<u,u> = k₁u₁u₁ + k₂u₂u₂ + ... + k_nu_nu_n

<u,u> = k₁ u₁² + k₂ u₂² + ... + k_n u_n² ≥ 0,

dan bernilai nol jika dan hanya jika u₁ = u₂ = ... = u_n = 0 yang berarti u = 0.
Jadi, keempat aksioma terpenuhi.


Contoh 1.1
Apakah <u,v> = 3u₁ v₁  + 2u₂ v₂  merupakan RHKD?

Jawab:

Misalkan:

• u = <u₁, u₂>
• v = <v₁, v₂>
• w = <w₁, w₂>

1. <u,v> = 3u₁ v₁  + 2u₂ v₂  

               = 3v₁ u₁  + 2v₂ u₂  

               = <v, u>

2. <u+w, v> = 3(u₁ + w₁)v₁  + 2(u₂ + w₂)v₂

                    = 3u₁v₁ + 3w₁v₁ + 2u₂v₂ + 2w₂v₂

                    = (3u₁v₁ + 2u₂v₂) + (3w₁v₁ + 2w₂v₂)

                    = <u,v> + <w,v>

3. <ku, v> = 3.ku₁ v₁ + 2.ku₂ v₂

                 = k.(3u₁ v₁ + 2u₂ v₂)

                 = k.<u, v>

4. <u, u> = 3u₁ u₁  + 2u₂ u₂ 

               = 3u₁² + 2u₂²  ≥ 0

Karena keempat aksioma terpenuhi, maka <u,v> = 3u₁ v₁  + 2u₂ v₂  merupakan RHKD.

Contoh 1.2

Apakah <u,v> = 2u₁ v₁  + 3u₂ v₂  + u₃ v₃ merupakan RHKD?

Jawab:

Misalkan:

• u = <u₁, u₂, u₃>
• v = <v₁, v₂, v₃>
• w = <w₁, w₂, w₃>

1. <u,v> = 2u₁ v₁  + 3u₂ v₂ + u₃ v₃

               = 2v₁ u₁  + 3v₂ u₂ + v₃ u₃ 

               = <v, u>

2. <u+w, v>

    = 2(u₁ + w₁)v₁  + 3(u₂ + w₂)v₂ + (u₃ + w₃)v₃

    = 2u₁v₁ + 2w₁v₁ + 3u₂v₂ + 3w₂v₂ + u₃v₃ + w₃v₃

    = (2u₁v₁ + 3u₂v₂ + u₃v₃) + (2w₁v₁ + 3w₂v₂ + w₃v₃)

    = <u,v> + <w,v>

3. <ku, v> = 2.ku₁ v₁ + 3.ku₂ v₂ + ku₃ v₃ 

                 = k.(2u₁ v₁ + 3u₂ v₂ + u₃ v₃ )

                 = k.<u, v>

4. <u, u> = 2u₁ u₁ + 3u₂ u₂ + u₃ u₃

               = 2u₁² + 3u₂² +u₃²  ≥ 0

Karena keempat aksioma terpenuhi, maka <u,v> = 2u₁ v₁  + 3u₂ v₂  + u₃ v₃  merupakan RHKD.

Contoh 1.3

Untuk u,v ∈ P₂ didefinisikan operasi bernilai real berikut.

<u, v> = <a₀ + a₁x + a₂x², b₀ + b₁x + b₂x²> = a₀b₀ + a₁b₁ + a₂b₂ 

Apakah operasi ini hasil-kali dalam?

Jawab:

Misalkan:

• p = p₀ + p₁x + p₂x²
• q = q₀ + q₁x + q₂x²
• r = r₀ + r₁x + r₂x²

1. <p, q> = p₀ q₀ + p₁ q₁ + p₂ q₂

               = q₀ p₀ + q₁ p₁ + q₂ p₂ 

               = <q, p>

2. <p+q, r>

    = (p₀ + q₀)r₀ + (p₁ + q₁)r₁ + (p₂ + q₂)r₂ 

    = p₀r₀ + q₀r₀ + p₁r₁ + q₁r₁ + p₂r₂ + q₂r₂ 

    = (p₀r₀ + p₁r₁ + p₂r₂ ) + (q₀r₀ +  q₁r₁ + q₂r₂)

    = <p, r> + <q, r>

3. <kp, q> = kp₀ q₀ + kp₁ q₁ + kp₂ q₂ 

                 = k.(p₀ q₀ + p₁ q₁ + p₂ q₂)

                 = k.<p, q>

4. <p, p> = p₀ p₀ + p₁ p₁ + p₂ p₂

                = p₀² + p₁² + p₂² +  ≥ 0

Karena keempat aksioma terpenuhi. Jadi, operasi real dari polinom diatas merupakan hasil-kali dalam.

Contoh 1.4

Jika p = (0, 1, -1, 2) dan q = (3, -2, 4, 1) hitunglah k sehingga k<p,q> = 4 dengan operasi hasil kali dalam!

<a, b> = a₁ b₁ + 4a₂ b₂ + a₃ b₃ + 5a₄ b₄ 

Jawab:

Diketahui:

• p = (0, 1, -1, 2)
• q = (3, -2, 4, 1)

<p, q> = p₁ q₁ + 4p₂ q₂ + p₃ q₃ + 5p₄ q₄

             = 0.3 + (4.1.(-2)) + (-1).4 + (5.2.1)

             = 0 - 8 - 4 + 10 

             = -2

Kemudian subs. hasil <p, q> ke  k<p, q> = 4.
k<p, q> = 4
k. (-2) = 4
k  =  4/-2
k  =  -2
Jadi, nilai k nya adalah -2

Share this post