Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) - Aljabar Linear

Materi Ruang Hasil Kali Dalam atau biasa disebut RHKD. Pada materi RHKD ini ada beberapa subbab materi yang harus kita kuasai yaitu antara lain:
  1. Definisi RHKD dan Contoh Soal RHKD
  2. Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor dan Besar Sudut RHKD
  3. Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Materi-materi diatas dapat kalian dapatkan ketika mengambil mata kuliah aljabar linear II. Dan pada kali bachtiarmath.com hanya akan membahas sekilas tentang definisi RHKD dan Contoh soal RHKD. Untuk Mencari besar sudut RHKD, Basis ortogonal dan ortonormal akan dibahas pada kesempatan selanjutnya.

Definisi RHKD

Misalkan V ruang vektor. Operasi yang mengaitkan anggota V, misalnya u, v ∈ V dengan bilangan real, yang ditulis sebagai <u, v>, disebut hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma berikut.
  1. u,v V, berlaku <u,v> = <v,u> {kesimetrian}
  2. u,v,w V, berlaku <u+w, v> = <u, v> + <w, v> {penjumlahan}
  3. u,v V, dan kR, berlaku <ku,v> = k <u,v> {kehomogenan}
  4. u V, berlaku <u,u> ≥ 0 jika dan hanya jika u = 0 {kepositifan}
Sebagai contoh, jelas bahwa hasil-kali titik <u,v> = u1v1 + u2v2 + ... + unvn untuk u,vRn merupakan hasil-kali dalam.

Bentuk lain dari hasil kali  titik adalah hasil-kali titik  yang diberi bobot, misalnya k1, k2, k3, ..., kn bilangan real positif, hasil kali titik yang diboboti dinyatakan dalam bentuk.

<u,v> = k1u1v1 + k2u2v2 + k3u3v3 + ... + knunvn untuk u,v ∈ Rn

Bukti: 
  • (aksioma 1) Ambil u,v ∈ Rn maka
<u,v> = k1u1v1 + k2u2v2 + ... + knunvn , {komutatif terhadap perkalian}
<u,v> = k1v1u1 + k2v2u2 + ... + knvnun , {definisi hasil-kali titik yang diboboti}
Jadi, <u,v> = <v,u>

  • (aksioma 2) Ambil u,v,w ∈ Rn maka
<u +w, v> = k1(u1 + w1)v1 + k2(u2 + w2)v1 + ... + kn(un + wn)vn {sifat distribusi bilangan real}

<u+w, v> = k1(u1v1 + w1v1) + k2(u2v2 + w2v2) + ... + kn(unvn + wnvn) {distribusi bilangan real}

<u+w, v> = (k1u1v1 + k1w1v1) + (k2u2v2 + k2w2v2) + ...+ (knunvn + knwnvn) {asosiatif bilangan real}

<u+w, v> = (k1u1v1 + k2u2v2 + ... + knunvn) + (k1w1v1 + k2w2v2 + ... + knwnvn) {definisi <u,v>}
Jadi, <u+w, v> = <u,v> + <w,v>

  • (aksioma 3) Ambil u,v ∈ Rn dan ambil lR maka
<lu,v> = klu1v1 + klu2v2 + ... + klunvn {distribusi bilangan real}

<lu,v> = l(k1u1v1 + k2u2v2 + ... + knunvn ) {definisi <u,v>}

{ingat kembali bahwa lu = (lu1lu2, ..., lun)}
Jadi, <lu,v> = <u,v>

  • (aksioma 4) Ambil u,v ∈ Rn maka
<u,u> = k1u1u1 + k2u2u2 + ... + knunun

<u,u> = ku12 ku22 + ... + kun2 0,

dan bernilai nol jika dan hanya jika u1 = u2 = ... = un = 0 yang berarti u = 0.
Jadi, keempat aksioma terpenuhi.


Contoh 1.1
Apakah <u,v> = 3uv + 2uv merupakan RHKD?

Jawab:

Misalkan:
  • u = <u1, u2>
  • v = <v1, v2>
  • w = <w1, w2>
1. <u,v> = 3uv + 2uv 
               = 3vu + 2vu 
               = <v, u>

2. <u+w, v> = 3(u1 + w1)v + 2(u2 + w2)v2
                    = 3u1v1 + 3w1v1 + 2u2v2 + 2w2v2
                    = (3u1v1 + 2u2v2) + (3w1v1 + 2w2v2)
                    = <u,v> + <w,v>

3. <ku, v> = 3.kuv1 + 2.kuv2
                 = k.(3uv1 + 2uv2)
                 = k.<u, v>

4. <u, u> = 3uu + 2uu2 
               = 3u12 + 2u22  ≥ 0
Karena keempat aksioma terpenuhi, maka <u,v> = 3uv + 2uv merupakan RHKD.


Contoh 1.2

Apakah <u,v> = 2uv + 3uv + uv3 merupakan RHKD?

Jawab:

Misalkan:
  • u = <u1, u2u3>
  • v = <v1, v2v3>
  • w = <w1, w2w3>
1. <u,v> = 2uv + 3uv2 + u3 v3
               = 2vu + 3vu2 + v3 u3 
               = <v, u>

2. <u+w, v>
    = 2(u1 + w1)v + 3(u2 + w2)v2 + (u3 + w3)v3
    = 2u1v1 + 2w1v1 + 3u2v2 + 3w2v2 + u3v3 + w3v3
    = (2u1v1 + 3u2v2 + u3v3) + (2w1v1 + 3w2v2 + w3v3)
    = <u,v> + <w,v>

3. <ku, v> = 2.kuv1 + 3.kuv2 + kuv3 
                 = k.(2uv1 + 3uv2 + uv3 )
                 = k.<u, v>

4. <u, u> = 2uu1 + 3uu2 + uu3
               = 2u12 + 3u22 +u32  ≥ 0
Karena keempat aksioma terpenuhi, maka <u,v> = 2uv + 3uv + uv3  merupakan RHKD.


Contoh 1.3

Untuk u,v ∈ P2 didefinisikan operasi bernilai real berikut.
<u, v> = <a0 + a1x + a2x2b0 + b1x + b2x2> = a0b0 + a1b1 + a2b2 
Apakah operasi ini hasil-kali dalam?

Jawab:

Misalkan:
  • p = p0 + p1x + p2x2
  • q = q0 + q1x + q2x2
  • r = r0 + r1x + r2x2
1. <p, q> = pq0 + pq1 + pq2
               = qp0 + qp1 + qp2 
               = <q, p>

2. <p+q, r>
    = (p0 + q0)r0 + (p1 + q1)r1 + (p2 + q2)r2 
    = p0r0 + q0r0 + p1r1 + q1r1 + p2r2 + q2r2 
    = (p0r0 + p1r1 + p2r2 ) + (q0r0 +  q1r1 q2r2)
    = <p, r> + <q, r>

3. <kp, q> = kpq0 + kpq1 + kpq2 
                 = k.(pq0 + pq1 + pq2)
                 = k.<p, q>

4. <p, p> = pp0 + pp1 + pp2
                = p02 + p12 + p22 +  ≥ 0
Karena keempat aksioma terpenuhi. Jadi, operasi real dari polinom diatas merupakan hasil-kali dalam.


Contoh 1.4

Jika p = (0, 1, -1, 2) dan q = (3, -2, 4, 1) hitunglah k sehingga k<p,q> = 4 dengan operasi hasil kali dalam!

<a, b> = a1 b1 + 4a2 b2 a3 b3 + 5a4 b4 

Jawab:

Diketahui:
  • p = (0, 1, -1, 2)
  • q = (3, -2, 4, 1)
<p, q> = p1 q1 + 4p2 q2 p3 q3 + 5p4 q4
             = 0.3 + (4.1.(-2)) + (-1).4 + (5.2.1)
             = 0 - 8 - 4 + 10 
             = -2

Kemudian subs. hasil <p, q> ke  k<p, q> = 4.
k<p, q> = 4
k. (-2) = 4
k  =  4/-2
k  =  -2
Jadi, nilai k nya adalah -2

2 Responses to "Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) - Aljabar Linear"

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel