Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

Materi Ruang Hasil Kali Dalam atau biasa disebut RHKD. Pada materi RHKD ini ada beberapa subbab materi yang harus kita kuasai yaitu antara lain:

Pada kesempatan ini bachtiamath.com akan membahas tentang materi Basis Ortogonal dan Ortonormal. Materi ini merupakan lanjutan dari definisi RHKD dan Cara mencari besar sudut RHKD. Untuk mengetahui apasih itu basis ortogonal dan ortonormal, mari simak penjelasan berikut ini ya gess. Apabila ada pertanyaan silahkan hubungi bachtiarmath.com pada contact yang sudah disediakan pada menu navigasi bawah.

Definisi 1.1 Ortogonal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam dan misalkan u, v ∈ V. Kemudian u dan v disebut saling ortogonal jika <u, v> = 0.

Contoh 1.1

Diketahui dua matriks u dan v:

Apakah u dan v saling ortogonal terhadap hasil kali dalam

a. <a, b> = a₁b₁ + 2a₂b₂ + 3a₃b₃ + 4a₄b₄

b. <a, b> = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + a₄b₄

c. <a, b> = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + 8a₄b₄

Jawab:

a. <a, b> = 9.5 + 2.0.(-8) + 3.(-3).3 + 4.4.(-9/8)

= 45 + 0 - 27 + 18

= 0 {ortogonal}

b. <a, b> = 9.5 + 0.(-8) + (-3).3 + 4.(-9/8)

= 45 + 0 - 9 - 4,5

= 31,5 {tidak ortogonal}

c. <a, b> = 9.5 + 0.(-8) + (-3).3 + 8.4.(-9/8)

= 45 + 0 - 9 - 36

= 0 {ortogonal}

Definisi 1.2 Ortogonal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam dan misalkan W = {u₁, u₂, ..., u_n}

V. Vektor v ∈ V disebut ortogonal pada himpunan W, jika v ortogonal pada setiap anggota W dan berlaku <u, v> = 0.

Contoh 1.2

Apakah u = (2, -1, 0) ortogonal terhadap himpunan W = {a = (2, 2, 3), b = (3, 3, -1), c = (-4, -4, 3)}terhadap hasil kali dalam <p, q> = p₁q₁ + 2q₂p₂ + q₃b₃ ?

Jawab:

<u, a> = 2.2 + 2.(-1).2 + 0.3

= 4 - 4 + 0

= 0

<u, b> = 2.3 + 2.(-1).3 + 0.(-1)

= 6 - 6 + 0

= 0

<u, c> = 2.(-4) + 2.(-1).(-4) + 0.3

= -8 + 8 + 0

= 0

Jadi, u ortogonal terhadap himpunan W, karena hasil <u, a>, <u, b>, dan <u, c> adalah nol. Dan apabila salah satu dari ketiga itu hasil nya ada yang tidak nol, maka u tidak ortogonal.

Definisi 1.3 Ortogonal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam dan misalkan W = {u₁, u₂, ..., u_n}

V. Vektor v ∈ V. W disebut himpunan ortogonal jika setiap dua anggota W ada yang berbeda saling ortogonal, atau <u_i, u_j> = 0, untuk setiap i ≠ j, dengan i, j = 1, 2, ..., n.

Contoh 1.3

Apakah W = {a = (-1, 0, 3), b = (2, 1, 1), c = (1, -7, 1/2)} merupakan himpunan ortogonal terhadap hasil kali dalam <u, v> = 3u₁v₁ + u₂v₂ + 2u₃v₃ ?

Jawab:

<a, b> = 3.(-1).2 + 0.1 + 2.3.1

= -6 + 0 + 6

= 0

<a, c> = 3.(-1).1 + 0.(-7) + 2.3.(1/2)

= -3 + 0 + 3

= 0

<b, c> = 3.2.1 + 1.(-7) + 2.1.(1/2)

= 6 - 7 + 1

= 0

Jadi, himpunan W himpunan ortogonal, karena hasil <a, b>, <a, c>, dan <b, c> adalah nol. Dan apabila salah satu dari ketiga itu hasil nya ada yang tidak nol, maka W bukan himpunan ortogonal.

Definisi Ortonormal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam. W = {u₁, u₂, ..., u_n}

V. Himunan W disebut himpunan ortonormal jika W himpunan ortogonal dan panjang setiap anggota W adalah satu. Atau dalam bentuk lambang ditulis:

<u_i, u_j> = 0, untuk i, j = 1, 2, ..., n dan i ≠ j
||u_i|| = 1, untuk setiap i = 1, 2, ..., n.

Contoh 1.4

Apakah W = {a = (-1, 0, 3), b = (2, 1, 1), c = (1, -7, 1/2)} merupakan himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam <u, v> = 3u₁v₁ + u₂v₂ + 2u₃v₃ ?

Jawab:

<a, b> = 3.(-1).2 + 0.1 + 2.3.1

= -6 + 0 + 6

= 0

<a, c> = 3.(-1).1 + 0.(-7) + 2.3.(1/2)

= -3 + 0 + 3

= 0

<b, c> = 3.2.1 + 1.(-7) + 2.1.(1/2)

= 6 - 7 + 1

= 0

Jadi, himpunan W himpunan ortogonal.

||a|| = <a, a>^1/2

= [3.(-1).(-1) + 1.0.0 + 2.3.3]^1/2

= [3 + 18]^1/2

= [ 21 ]^1/2

≠ 1

Karena, ||a|| ≠ 1 maka dapat disimpulkan bahwa W bukan ortonormal, tetapi W merupakan ortogonal. Ingat! jika W merupakan himpunan ortogonal dan semua vektor panjangnya satu maka W merupakan himpunan ortonormal.

Berikut ini adalah rumus untuk mencari basis ortogonal dan basis ortonormal menggunakan metode Gramm-Schmidt.

Rumus Basis Ortogonal

Misalkan basis ortogonal dilambangkan dengan w₁, w₂, w₃, ..., w_n maka:

Rumus Basis Ortonormal

Misalkan basis ortonormal dilambangkan dengan S₁, S₂, S₃, ..., S_n maka:

Contoh 1.5

Diketahui U sembarang dari vektor R⁴ yang dibangun oleh:

v₁ = (1, 1, 1, 1)

v₂ = (1, 1, 2, 4)

v₃ = (1, 2, -4, -3)

Tentukan basis ortogonal dan basis ortonormal U!

Jawab:

Basis Ortogonal

Mencari w₁
w₁ = v₁ = (1, 1, 1, 1)

Mencari w₂

<w₁, w₁> = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>
= 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1
= 4

<v₂, w₁> = <(1, 1, 2, 4), (1, 1, 1, 1)>
= 1.1 + 1.1 + 2.1 + 4.1
= 1 + 1 + 2 + 4
= 8

Subsitusikan ke rumus w₂:

Mencari w₃

<v₃, w₁> = <(1, 2, -4, -3), (1, 1, 1, 1)>

= 1.1 + 2.1 + (-4).1 + (-3).1

= 1 + 2 - 4 - 3

= -4

<v₃, w₂> = <(1, 2, -4, -3), (-1, -1, 0, 2)>

= 1.(-1) + 2.(-1) + (-4).0 + (-3).2

= -1 - 2 + 0 - 6

= -9

<w₂, w₂> = <(-1, -1, 0, 2), (-1, -1, 0, 2)>

= (-1).(-1) + (-1).(-1) + 0.0 + 2.2

= 1 + 1 + 0 + 4

= 6

Subsitusikan ke rumus w₃:

Jadi, basis ortogonalnya adalah:

Basis Ortonormal

Misalkan basis ortonormal dilambangkan dengan S₁, S₂, S₃ maka:

||w₁|| = <w₁, w₁>^1/2

= <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>^1/2

= (1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1)^1/2

= (4)^1/2

= 2

||w₂|| = <w₂, w₂>^1/2

= <(-1, -1, 0, 2), (-1, -1, 0, 2)>^1/2

= ((-1).(-1) + (-1).(-1) + 0.0 + 2.2)^1/2

= (1 + 1 + 0 + 4)^1/2

= (6)^1/2

||w₃|| = <w₃, w₃>^1/2

= <(1, 3, -6, 2), (1, 3, -6, 2)>^1/2

= (1.1 + 3.3 + (-6).(-6) + 2.2)^1/2

= (1 + 9 + 36 + 4)^1/2

= (50)^1/2

= 5

Subsitusikan ke rumus S₁, S₂, S₃:

Jadi, basis ortonormalnya adalah:

Contoh 1.6

Diketahui U sembarang dari vektor R⁴ yang dibangun oleh:

v₁ = (1, 1, 1, 1)

v₂ = (1, -1, 2, 2)

v₃ = (1, 2, -3, -4)

Tentukan:

a. Basis ortogonal dan basis ortonormal dari U!

b. Tentukan proyeksi v = (1, 2, -3, 4) terhadap U!

Jawab:

a. Basis ortogonal dan ortonormal dari U

<v₁, v₂, v₃> = <(1,1,1,1), (1,-1,2,2), (1,2,-3,-4)

= 1.1.1 + 1.(-1).2 + 1.2.(-3) +1.2.(-4)

= 1 - 2 - 6 - 8

= 15 {tidak ortogonal}

Basis ortogonal

Mencari w₁
w₁ = v₁ = (1, 1, 1, 1)

Mencari w₂

<w₁, w₁> = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>
= 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1
= 4

<v₂, w₁> = <(1, -1, 2, 2), (1, 1, 1, 1)>
= 1.1 + (-1).1 + 2.1 + 2.1
= 1 - 1 + 2 + 2
= 4

Subsitusikan ke rumus w₂:

Mencari w₃

<v₃, w₁> = <(1, 2, -3, -4), (1, 1, 1, 1)>

= 1.1 + 2.1 + (-3).1 + (-4).1

= 1 + 2 - 3 - 4

= -4

<v₃, w₂> = <(1, 2, -3, -4), (0, -2, 1, 1)>

= 1.0 + 2.(-2) + (-3).1 + (-4).1

= 0 - 4 - 3 - 4

= -11

<w₂, w₂> = <(0, -2, 1, 1), (0, -2, 1, 1)>

= 0.0 + (-2).(-2) + 1.1 + 1.1

= 0 + 4 + 1 + 1

= 6

Subsitusikan ke rumus w₃:

Jadi, basis ortogonalnya adalah:

Basis Ortonormal

Misalkan basis ortonormal dilambangkan dengan S₁, S₂, S₃ maka:

||w₁|| = <w₁, w₁>^1/2

= <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>^1/2

= (1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1)^1/2

= (4)^1/2

= 2

||w₂|| = <w₂, w₂>^1/2

= <(0, -2, 1, 1), (0, -2, 1, 1)>^1/2

= (0.0 + (-2).(-2) + 1.1 + 1.1)^1/2

= (0 + 4 + 1 + 1)^1/2

= (6)^1/2

||w₃|| = <w₃, w₃>^1/2

= <(12, -4, -1, -7), (12, -4, -1, -7)>^1/2

= (12.12 + (-4).(-4) + (-1).(-1) + (-7).(-7))^1/2

= (144 + 16 + 1 + 49)^1/2

= (210)^1/2

Subsitusikan ke rumus S₁, S₂, S₃:

Jadi, basis ortonormalnya adalah:

b. Proyeksi terhadap U, dengan v = (1,2,-3,4)

U = proy <v, u>
= c₁w₁ + c₂w₂ +c₃w₃

Mencari c₁, c₂, dan c₃:

Subsitusikan c₁, c₂, c₃ dan hasil w₁, w₂, dan w₃ yang sudah dicari diatas kerumus proyeksi:

Contoh 1.7

Tentukan proyeksi v terhadap w dimana w adalah subruang dari R⁴ yang dibangun oleh:

u₁ = (1, 2, 1, 2, 1)

u₂= (1, -1, 2, -1, 1)

dimana v = (1, 2, 3, 4, 6).

Jawab:

<u₁, u₂> = <(1, 2, 1, 2, 1), (1, -1, 2, -1, 1)
= 1.1 + 2.(-1) + 1.2 + 2.(-1) + 1.1
= 1 - 2 + 2 - 2 + 1
= 0 {ortogonal}

Karena ortogonal jadi langsung saja subsitusikan kerumus c₁, dan c₂ seperti berikut ini:

Subsitusikan c₁ dan c₂ kerumus proyeksi:

Iklan Bawah Header

Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

0 Response to "Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel