Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal

Materi Ruang Hasil Kali Dalam atau biasa disebut RHKD. Pada materi RHKD ini ada beberapa subbab materi yang harus kita kuasai yaitu antara lain:
  1. Definisi RHKD dan Contoh Soal RHKD
  2. Panjang Vektor, Jarak Antar Vektor, dan Besar Sudut RHKD
  3. Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Pada kesempatan ini bachtiamath.com akan membahas tentang materi Basis Ortogonal dan Ortonormal. Materi ini merupakan lanjutan dari definisi RHKD dan Cara mencari besar sudut RHKD. Untuk mengetahui apasih itu basis ortogonal dan ortonormal, mari simak penjelasan berikut ini ya gess. Apabila ada pertanyaan silahkan hubungi bachtiarmath.com pada contact yang sudah disediakan pada menu navigasi bawah.

Definisi 1.1 Ortogonal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam dan misalkan u, v ∈ V. Kemudian u dan v disebut saling ortogonal jika <u, v> = 0.

Contoh 1.1

Diketahui dua matriks u dan v:
      
Apakah u dan v saling ortogonal terhadap hasil kali dalam
a.  <a, b> = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3 + 4a4b4 
b.  <a, b> = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 
c.  <a, b> = a1b1 + a2b2 + a3b3 + 8a4b4 

Jawab:

a.  <a, b> = 9.5 + 2.0.(-8) + 3.(-3).3 + 4.4.(-9/8)
                = 45 + 0 - 27 + 18
                = 0  {ortogonal}

b.  <a, b> = 9.5 + 0.(-8) + (-3).3 + 4.(-9/8)
                = 45 + 0 - 9 - 4,5
                = 31,5 {tidak ortogonal}

c.  <a, b> = 9.5 + 0.(-8) + (-3).3 + 8.4.(-9/8)
                = 45 + 0 - 9 - 36
                = 0 {ortogonal}

Definisi 1.2 Ortogonal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam dan misalkan W = {u1, u2, ..., un V. Vektor v ∈ V disebut ortogonal pada himpunan W, jika v ortogonal pada setiap anggota W dan berlaku <u, v> = 0.

Contoh 1.2

Apakah u = (2, -1, 0) ortogonal terhadap himpunan W = {a = (2, 2, 3), b = (3, 3, -1), c = (-4, -4, 3)}terhadap hasil kali dalam  <p, q> = p1q1 + 2q2p2 + q3b3 ?

Jawab:

<u, a> = 2.2 + 2.(-1).2 + 0.3
           = 4 - 4 + 0
           = 0

<u, b> = 2.3 + 2.(-1).3 + 0.(-1)
           = 6 - 6 + 0
           = 0

<u, c> = 2.(-4) + 2.(-1).(-4) + 0.3
           = -8 + 8 + 0
           = 0

Jadi, u ortogonal terhadap himpunan W, karena hasil <u, a>, <u, b>, dan <u, c> adalah nol. Dan apabila salah satu dari ketiga itu hasil nya ada yang tidak nol, maka u tidak ortogonal.

Definisi 1.3 Ortogonal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam dan misalkan W = {u1, u2, ..., un V. Vektor v ∈ V. W disebut himpunan ortogonal jika setiap dua anggota W ada yang berbeda saling ortogonal, atau <ui, uj> = 0, untuk setiap i ≠ j, dengan i, j = 1, 2, ..., n.

Contoh 1.3

Apakah W = {a = (-1, 0, 3), b = (2, 1, 1), c = (1, -7, 1/2)} merupakan himpunan ortogonal terhadap hasil kali dalam <u, v> = 3u1v1 + u2v2 + 2u3v3 ?

Jawab:

<a, b> = 3.(-1).2 + 0.1 + 2.3.1
           = -6 + 0 + 6
           = 0

<a, c> = 3.(-1).1 + 0.(-7) + 2.3.(1/2)
           = -3 + 0 + 3
           = 0

<b, c> = 3.2.1 + 1.(-7) + 2.1.(1/2)
           = 6 - 7 + 1
           = 0

Jadi, himpunan W himpunan ortogonal, karena hasil <a, b>, <a, c>, dan <b, c> adalah nol. Dan apabila salah satu dari ketiga itu hasil nya ada yang tidak nol, maka W bukan himpunan ortogonal.

Definisi Ortonormal

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam. W = {u1, u2, ..., un V. Himunan W disebut himpunan ortonormal jika W himpunan ortogonal dan panjang setiap anggota W adalah satu. Atau dalam bentuk lambang ditulis:
  1. <ui, uj> = 0, untuk i, j = 1, 2, ..., n dan i ≠ j
  2. ||ui|| = 1, untuk setiap i = 1, 2, ..., n.
Contoh 1.4

Apakah W = {a = (-1, 0, 3), b = (2, 1, 1), c = (1, -7, 1/2)} merupakan himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam <u, v> = 3u1v1 + u2v2 + 2u3v3 ?

Jawab:

<a, b> = 3.(-1).2 + 0.1 + 2.3.1
           = -6 + 0 + 6
           = 0

<a, c> = 3.(-1).1 + 0.(-7) + 2.3.(1/2)
           = -3 + 0 + 3
           = 0

<b, c> = 3.2.1 + 1.(-7) + 2.1.(1/2)
           = 6 - 7 + 1
           = 0
Jadi, himpunan W himpunan ortogonal.

||a|| = <a, a>1/2
      = [3.(-1).(-1) + 1.0.0 + 2.3.3]1/2
      = [3 + 18]1/2
      = [ 21 ]1/2
      =  ≠ 1

Karena, ||a|| ≠ 1 maka dapat disimpulkan bahwa W bukan ortonormal, tetapi  W merupakan ortogonal. Ingat! jika  W merupakan himpunan ortogonal dan semua vektor panjangnya satu maka W merupakan himpunan ortonormal.

Berikut ini adalah rumus untuk mencari basis ortogonal dan basis ortonormal menggunakan metode Gramm-Schmidt.

Rumus Basis Ortogonal

Misalkan basis ortogonal dilambangkan dengan w1, w2, w3, ..., wn maka:


Rumus Basis Ortonormal

Misalkan basis ortonormal dilambangkan dengan S1, S2, S3, ..., Sn maka:



Contoh 1.5

Diketahui U sembarang dari vektor R4 yang dibangun oleh:
v1 = (1, 1, 1, 1)
v2 = (1, 1, 2, 4)
v3 = (1, 2, -4, -3)
Tentukan basis ortogonal dan basis ortonormal U!

Jawab:
  • Basis Ortogonal
Mencari w1
w1 = v1 = (1, 1, 1, 1)

Mencari w2


<w1, w1> = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>
                 = 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1
                 = 4

<v2, w1> = <(1, 1, 2, 4), (1, 1, 1, 1)>
                 = 1.1 + 1.1 + 2.1 + 4.1
                 = 1 + 1 + 2 + 4
                 = 8

Subsitusikan ke rumus w2:


Mencari w3 

<v3, w1> = <(1, 2, -4, -3), (1, 1, 1, 1)>
                 = 1.1 + 2.1 + (-4).1 + (-3).1
                 = 1 + 2 - 4 - 3
                 = -4

<v3, w2> = <(1, 2, -4, -3), (-1, -1, 0, 2)>
                 = 1.(-1) + 2.(-1) + (-4).0 + (-3).2
                 = -1 - 2 + 0 - 6
                 = -9

<w2, w2> = <(-1, -1, 0, 2), (-1, -1, 0, 2)>
                 = (-1).(-1) + (-1).(-1) + 0.0 + 2.2
                 = 1 + 1 + 0 + 4
                 = 6

Subsitusikan ke rumus w3:


Jadi, basis ortogonalnya adalah:

  • Basis Ortonormal
Misalkan basis ortonormal dilambangkan dengan  S1, S2, S3 maka:


||w1|| = <w1, w1>1/2
         = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>1/2
         = (1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1)1/2
         = (4)1/2
         = 
         = 2

||w2|| = <w2, w2>1/2
         = <(-1, -1, 0, 2), (-1, -1, 0, 2)>1/2
         = ((-1).(-1) + (-1).(-1) + 0.0 + 2.2)1/2
         = (1 + 1 + 0 + 4)1/2
         = (6)1/2
         = 

||w3|| = <w3, w3>1/2
         = <(1, 3, -6, 2), (1, 3, -6, 2)>1/2
         = (1.1 + 3.3 + (-6).(-6) + 2.2)1/2
         = (1 + 9 + 36 + 4)1/2
         = (50)1/2 
         = 
         = 
         = 5

Subsitusikan ke rumus S1, S2, S3:


Jadi, basis ortonormalnya adalah:


Contoh 1.6

Diketahui U sembarang dari vektor R4 yang dibangun oleh:
v1 = (1, 1, 1, 1)
v2 = (1, -1, 2, 2)
v3 = (1, 2, -3, -4)
Tentukan:
a. Basis ortogonal dan basis ortonormal dari U!
b. Tentukan proyeksi v = (1, 2, -3, 4) terhadap U!

Jawab:

a. Basis ortogonal dan ortonormal dari U

<v1v2v3> = <(1,1,1,1), (1,-1,2,2), (1,2,-3,-4)
                    = 1.1.1 + 1.(-1).2 + 1.2.(-3) +1.2.(-4)
                    = 1 - 2 - 6 - 8
                    = 15 {tidak ortogonal}

  • Basis ortogonal
Mencari w1
w1 = v1 = (1, 1, 1, 1)

Mencari w2


<w1, w1> = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>
                 = 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1
                 = 4

<v2, w1> = <(1, -1, 2, 2), (1, 1, 1, 1)>
                 = 1.1 + (-1).1 + 2.1 + 2.1
                 = 1 - 1 + 2 + 2
                 = 4

Subsitusikan ke rumus w2:


Mencari w3 

<v3, w1> = <(1, 2, -3, -4), (1, 1, 1, 1)>
                 = 1.1 + 2.1 + (-3).1 + (-4).1
                 = 1 + 2 - 3 - 4
                 = -4

<v3, w2> = <(1, 2, -3, -4), (0, -2, 1, 1)>
                 = 1.0 + 2.(-2) + (-3).1 + (-4).1
                 = 0 - 4 - 3 - 4
                 = -11

<w2, w2> = <(0, -2, 1, 1), (0, -2, 1, 1)>
                 = 0.0 + (-2).(-2) + 1.1 + 1.1
                 = 0 + 4 + 1 + 1
                 = 6

Subsitusikan ke rumus w3:


Jadi, basis ortogonalnya adalah:

  • Basis Ortonormal
Misalkan basis ortonormal dilambangkan dengan  S1, S2, S3 maka:


||w1|| = <w1, w1>1/2
         = <(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)>1/2
         = (1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1)1/2
         = (4)1/2
         = 
         = 2

||w2|| = <w2, w2>1/2
         = <(0, -2, 1, 1), (0, -2, 1, 1)>1/2
         = (0.0 + (-2).(-2) + 1.1 + 1.1)1/2
         = (0 + 4 + 1 + 1)1/2
         = (6)1/2
         = 

||w3|| = <w3, w3>1/2
         = <(12, -4, -1, -7), (12, -4, -1, -7)>1/2
         = (12.12 + (-4).(-4) + (-1).(-1) + (-7).(-7))1/2
         = (144 + 16 + 1 + 49)1/2
         = (210)1/2
         = 

Subsitusikan ke rumus S1, S2, S3:


Jadi, basis ortonormalnya adalah:


b.  Proyeksi terhadap U, dengan v = (1,2,-3,4)

U = proy <v, u>
    = c1w1 + c2w2 +c3w3

Mencari c1, c2, dan c3:




 

Subsitusikan c1, c2, c3 dan hasil w1, w2, dan w3 yang sudah dicari diatas kerumus proyeksi:



Contoh 1.7

Tentukan proyeksi v terhadap w dimana w adalah subruang dari R4 yang dibangun oleh:
u1 = (1, 2, 1, 2, 1)
u= (1, -1, 2, -1, 1)
dimana v = (1, 2, 3, 4, 6).

Jawab:

<u1u2> = <(1, 2, 1, 2, 1), (1, -1, 2, -1, 1)
               = 1.1 + 2.(-1) + 1.2 + 2.(-1) + 1.1
               = 1 - 2 + 2 - 2 + 1
               = 0  {ortogonal}

Karena ortogonal jadi langsung saja subsitusikan kerumus c1, dan c2 seperti berikut ini:



Subsitusikan c1 dan c2 kerumus proyeksi:

0 Response to "Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel