Operasi Pada Himpunan dan Contohnya

Haii gaes.. pada kesempatan sebelumnya bachtiarmath.com sudah membahas tentang dasar-dasar himpunan dan bagaimana cara membuat diagram venn. Nah untuk kali ini saya akan melanjukan meteri yang berjudul operasi pada himpunan berikut dengan contoh-contohnya.

Operasi Pada Himpunan

Jika ada satu atau beberapa himpunan, himpunan-himupunan tersebut dapat dioperasikan dengan operator tertentu untuk mengasilkan himpunan yang baru. Beberapa operasi himpunan ini terdapat 4 operasi yang sering digunakan, yaitu antara lain: gabungan,  irisan, komplemen, dan selisih (semesta pembicaraan = S).

1. Gabungan (Union)

Gabungan berarti penyatuan objek-objek  yang sedang dibicarakan. Jika dua buah himpunan digabungkan, maka akan menghasilkan suatu himpunan baru yang aggotanya terdiri atas anggota kedua himpunan tersebut.

Kemudian gabungan dua buah himpunan A dan B dilambangkan atau dituliskan dengan "A  B".

 B = {x ∈ S | x ∈ A atau x ∈ B}

2. Irisan (Intersection)

Irisan dua buah himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen x dan S sedemikian sehingga a  adalah anggota A dan sekaligus juga anggota B.

Kemudian irisan dua buah himpunan A dan B dilambangkan atau dituliskan dengan "A  B".

 B = {x ∈ S | x ∈ A dan x ∈ B}

3. Komplemen (Ac)

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang terdiri atas semua anggota himpunan semesta (elemen x dalam S), tetapi bukan anggota himpunan A (x bukan anggota A) dan ditulis Ac.

4. Selisih (A - B)

Selisih himpunan B dari himpunan A (simbol A - B) adalah himpunan semua elemen x dalam S, sedemikian sehingga x anggota A, tetapi bukan anggota B.

A - B = {x ∈ S | x ∈ A dan x ∉ B}

Tips menghafalkan selisih:
  • A-B = ada di A tidak ada di B
  • B-A = ada di B tidak ada di A

Kumpulan Soal & Pembahasan

Soal No 1

Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dimana A = {1, 3, 5, 7} dan B = {4, 5, 6, 7}. Tentukan:
a.   A  B           d.   B - A
b.   A  B           e.    Ac
c.   A-B               f.    Bc

Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 3, 5, 7}
B = {4, 5, 6, 7}

Didapatkan:
  •  B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
  •  B = {5, 7}
  • A-B = {1, 3}
  • B-A = {4, 6}
  • Ac = {2, 4, 6}
  • Bc = {1, 2, 3}


Soal No 2

Diketahui A = {x | x ≤ 15, x bilangan ganjil} dan B = {x | 2 ≤ x < 8, x bilangan asli}. Dengan cara mendaftarkan semua anggotanya, tentukan himpunan berikut.
a.   A  B
b.   A  C
c.   A - B
d.   B - A

Penyelesaian:

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Didapatkan:
  •  B = {3, 5, 7}
  •  C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
  • A - B  = {1, 9, 11, 13, 15}
  • B - A  = {2, 4, 6}


Soal No 3

Diketahui himpunan semesta S = {x | 5 ≤ x ≤ 20, x bilangan bulat}. Himpunan P = {bilangan prima} dan Q = {6, 7, 10, 15, 17, 18}. Nyatakan himpunan hasil operasi berikut dengan notasi pembentuk himpunan.
a.   Pc              d.   P  Qc
b.   Qc             e.   P - Q
c.   P  Q        f.   Q - Pc

Penyelesaian:

S = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ..., 20}
P = {5, 7, 11, 13, 17, 19}
Q = {6, 7, 10, 15, 17, 18}

Didapatkan:
  • Pc  = {6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
  • Qc = {5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 19, 20}
  •  Q  = {5, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 17, 18, 19}
  •  Qc = {5, 11, 13}
  • P - Q   = {5, 11, 13, 19}
  • Q - Pc = {7, 17}


Soal No 4

Semesta: S = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 18}
A = {1, 2, 3, 5, 7}
B = {4, 5, 6, 7, 9}
C = {3, 7, 8, 9, 10, 11}
Dengan cara mendaftarkan anggotanya, tentukan:
a.   A  B            c.    B  Cc
b.   A  C            d.    Ac  C

Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 18}
A = {1, 2, 3, 5, 7}
B = {4, 5, 6, 7, 9}
C = {3, 7, 8, 9, 10, 11}

Didapatkan:
  •  B = {5, 7}
  •  C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11}
  •  Cc = {4, 5, 6, 7, 9}  {1, 2, 4, 5, 6, 12, ..., 18} = {4, 5, 6}
  • Ac  C = {4, 6, 8, 9, 10, ..., 18}  {3, 7, 8, 9, 10, 11} = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 18}


Soal No 5

Pada semesta himpunan bilangan bulat diketahui himpunan P = {x | -5 < x < 28} dan Q = {x | x ≥ 15}. Nyatakan himpunan hasil operasi berikut dengan notasi pembentuk himpunan.
a.   P  Q            c.    P - Q
b.   P  Q            d.   Q - P

Penyelesaian:

Diketahui:
S = Himpunan bilangan bulat

P = {x | -5 < x < 28}
   = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ..., 27}

Q = {x | x ≥ 15}
    = {15, 16, 17, 18, 19, 20, ....}

Didapatkan:
  •  Q = {x | 15 ≤ x ≤ 27, x bilangan bulat}
  •  Q = {x | x ≥ -4, x bilangan bulat}
  • P - Q  = {x | -4 ≤ x ≤ 14, x bilangan bulat}
  • Q - P  = {x | x ≥ 28, x bilangan bulat}


Soal No 6

Pada semesta hhimpunan bilangan asli kurang dari 60 diketahui himpunan-himpunan berikut.
A = Himpunan bilangan kuadrat
B = Himpunan bilangan kelipatan 4
C = Himpunan bilangan kelipatan 5
Tentukan hasil operasi himpunan berikut:
a.   Ac  B
b.   A  Bc
c.   A  B  C
d.   Ac  Bc  Cc

Penyelesaian:
  • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., 59}
  • A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}
  • B = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56}
  • C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55}
Didapatkan:
  • Ac  B = {8, 12, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56}
  •  Bc = Buat latihan
  •  B  C = {1, 4, 5, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 55, 56}
  • Ac  Bc  Cc =  (A  B  C)c = {2, 3, 6, 7, 8, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 54, 57, 59}


Soal No 7

Pada semesta bilangan cacah kurang dari 40 diketahui himpunan M = {x | 5 < x < 18} dan N = {x | x kelipatan 4}.
a.   Tentukan himpunan (M  N)c
b.   Tentukan himpunan Mc  Nc
c.   Apakah (M  N)c = Mc  Nc ?

Penyelesaian:
  • S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 39}
  • M = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ..., 17}
  • N = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36}
Didapatkan:
  • (M  N)c = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 17, 18, ..., 39}
  • Mc  Nc = (M  N)c = {0, 1, 2, 3, 5, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39}
  • Bukan, yang benar adalah (M  N)c = Mc  Nc


Soal No 8

Diketahui:
P = {x | x ≥ 10, x bilangan asli}
Q = {x | 0 < x ≤ 7, x bilangan asli}
R = {x | 4 < x < 15, x bilangan asli}
Tentukan himpunan hasil operasi berikut:
a.   P  Q
b.   Q  R
c.   (P  Q)  R
d.   P  (Q  R)
e.   Apakah (P  Q)  R = P  (Q  R)?

Penyelesaian:

P = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...}
Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
R = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

Didapatkan:
  •  Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, ...}
  •  R = {5, 6, 7}
  • (P  Q)  R = {5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14}
  •  (Q  R) = {5, 6, 7, 10, 11, 12, ...}
  • Iya, karena dalam sifat komutatif (P  Q)  R = P  (Q  R)

Mungkin itu saja artikel singkat yang dapat saya bagikan. Semoga bermanfaat..

2 Responses to "Operasi Pada Himpunan dan Contohnya"

  1. Terimakasih, sangat membantu sekali materi-materi nya. 🙏

    ReplyDelete

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel