Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dan Contohnya
Pada Sistem persamaan linear & kuadrat, terdapat beberapa materi yang akan kita pelajari yaitu antara lain:
- SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)
- SPLTV (Sistem persamaan Linear Tiga Variabel)
- SPLKDV (Sistem Persamaan Linear & Kuadrat Dua Variabel)
- SPK (Sistem Persamaan Kuadrat)
Nah pada kesempatan ini bachtiarmath.com akan membahas tentang materi SPLTV. Untuk mengetahui apasih itu SPLTV mari simak penjelasan berikut ini. Apabila ada pertanyaan silahkan hubungi bachtiarmath.com melalui contact yang sudah disediakan di navigasi bawah.
Pengertian SPLTV
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai tiga variabel.
Bentuk umum:
a1x + b1x + c1x = d1
a2y + b2y + c2y = d2
a3z + b3z + c3z = d3
Dengan:
a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, dan d3 merupakan bilangan real
a1, b1, c1 ≠ 0
a2, b2, c2 ≠ 0
a3, b3, c3 ≠ 0
Keterangan:
x, y, z = variabel
a1, a2, a3 = koefisien variabel x
b1, b2, b3 = koefisien variabel y
c1, c2, c3 = koefisien variabel z
d1, d2, d3 = konstanta persamaan
Contoh 1.1
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut.
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut.
8x - 3y + 2z = 28
3x + 4y + z = 22
5x + 2y + 3z = 34
Jawab:
8x - 3y + 2z = 28 ..... (1)
3x + 4y + z = 22 ..... (2)
5x + 2y + 3z = 34 .... (3)
Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (2)
8x - 3y + 2z = 28 x1
3x + 4y + z = 22 x2
8x - 3y + 2z = 28
6x + 8y + 2z = 44 -
2x - 11y = -16 ..... (4)
Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (3)
8x - 3y + 2z = 28 x3
5x + 2y + 3z = 34 x2
24x - 9y + 6z = 84
10x + 4y + 6z = 68 -
14x - 13y = 16 .... (5)
Eliminasi x menggunakan Persamaan (4) dan persamaan (5)
2x - 11y = -16 x7
14x - 13y = 16 x1
14x - 77y = -112
14x - 13y = 16 -
- 64y = -128
y = -128/-64
y = 2
Subsitusikan y = 2 pada persamaan (4) yaitu 2x - 11y = -16
⇔ 2x - 11.(2) = -16
⇔ 2x - 22 = -16
⇔ 2x = -16 + 22
⇔ 2x = 6
⇔ x = 6/2
⇔ x = 3
Subsitusikan x = 3 dan y = 2 pada persamaan (1) yaitu 8x - 3y + 2z = 28
⇔ 8.(3) - 3.(2) + 2z = 28
⇔ 24 - 6 + 2z = 28
⇔ 18 + 2z = 28
⇔ 2z = 28 - 18
⇔ 2z = 10
⇔ z = 10/2
⇔ z = 5
Jadi, HP = {(x, y, z)} = {(3, 2, 5)}
Contoh 1.2 (Soal Cerita)
Dewi Nurrohmah, Bachtiar, dan Rohman pergi bersama-sama ke toko buah. Dewi Nurrohmah membeli 9 kg jeruk, 2 kg apel, dan 4 kg salak dengan harga Rp. 122.000,00. Bachtiar membeli 2 kg jeruk, 4 kg apel, dan 1 kg salak dengan harga Rp. 81.000,00. Sedangkan Rohman membeli 1 kg jeruk, 2 kg apel, dan 2 kg salak seharga Rp. 48.000,00.
Tentukan:
a. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!
b. Hitunglah harga tiap kg jeruk, apel, dan salak!
Tentukan:
a. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut!
b. Hitunglah harga tiap kg jeruk, apel, dan salak!
Jawab:
Misalkan:
- Jeruk = x
- Apel = y
- Salak = z
a. Model matematika
9x + 2y + 4z = 122.000
2x + 4y + z = 81.000
x + 2y + 2z = 48.000
b. Menghitung harga 1 kg jeruk, apel, dan salak.
9x + 2y + 4z = 122.000 .... (1)
2x + 4y + z = 81.000 ...... (2)
x + 2y + 2z = 48.000 ...... (3)
Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (2)
9x + 2y + 4z = 122.000 x1
2x + 4y + z = 81.000 x4
2x + 4y + z = 81.000 x4
9x + 2y + 4z = 122.000
8x + 16y + 4z = 324.000 -
8x + 16y + 4z = 324.000 -
x - 14y = -202.000 .... (4)
Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (3)
9x + 2y + 4z = 122.000 x1
x + 2y + 2z = 48.000 x2
x + 2y + 2z = 48.000 x2
9x + 2y + 4z = 122.000
2x + 4y + 4z = 96.000 -
2x + 4y + 4z = 96.000 -
7x - 2y = 26.000 ....... (5)
Eliminasi x menggunakan persamaan (4) dan Persamaan (5)
x - 14y = -202.000 x7
7x + -2y = 26.000 x1
7x - 98y = -1.414.000
7x -2y = 26.000 -
-96y = -1.440.000
y = -1.440.000/-96
y = 15.000
Subsitusikan y = 15.000 pada persamaan (5) ⇔ 7x - 2y = 26.000
⇔ 7x - 2.(15.000) = 26.000
⇔ 7x - 30.000 = 26.000
⇔ 7x = 26.000 + 30.000
⇔ 7x = 56.000
⇔ x = 56.000/7
⇔ x = 8.000
Subsitusikan x = 8.000 dan y = 15.000 pada persamaan (1) ⇔ 9x + 2y + 4z = 122.000
⇔ 9.(8.000) + 2.(15.000) + 4z = 122.000
⇔ 72.000 + 30.000 + 4z = 122.000
⇔ 102.000 + 4z = 122.000
⇔ 4z = 122.000 - 102.000
⇔ 4z = 20.000
⇔ z = 20.000/4
⇔ z = 5.000
Jadi, Harga 1 kg jeruk, apel dan salak adalah
Jeruk = x = Rp. 8.000
Apel = y = Rp. 15.000
Salak = z = Rp. 5.000
Soal Latihan
1. 2x - y + z = 6
x - 3y + z = 2
x + 2y - z = 3
2. p - 2q + r = 6
3p + q - 2r = 4
7p - 6q - r = 10
3. 2x + y + z = 12
x + 2y - z = 3
3x - y + z = 11
1. 2x - y + z = 6
x - 3y + z = 2
x + 2y - z = 3
2. p - 2q + r = 6
3p + q - 2r = 4
7p - 6q - r = 10
3. 2x + y + z = 12
x + 2y - z = 3
3x - y + z = 11
4. Shinta membeli di sebuah toko peralatan sekolah berupa 4 buah penggaris, 6 buah buku tulis, dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebersar Rp. 19.000,00. Di toko yang sama Anita berbelanja 3 buah buku tullis dan penggaris dengan menghabiskan uang Rp. 7.000,00. Jika harga 1 penggaris adalah Rp. 1.000,00. Maka tentukan harga 1 pena dan harga 1 buku tulis!