Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dan Contohnya

Pada Sistem persamaan linear & kuadrat, terdapat beberapa materi yang akan kita pelajari yaitu antara lain:
  1. SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)
  2. SPLTV (Sistem persamaan Linear Tiga Variabel)
  3. SPLKDV (Sistem Persamaan Linear & Kuadrat Dua Variabel)
  4. SPK (Sistem Persamaan Kuadrat)
Nah pada kesempatan ini bachtiarmath.com akan membahas tentang materi SPLTV. Untuk mengetahui apasih itu SPLTV mari simak penjelasan berikut ini. Apabila ada pertanyaan silahkan hubungi bachtiarmath.com melalui contact yang sudah disediakan di navigasi bawah.

Pengertian SPLTV

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai tiga  variabel. 
Bentuk umum:


a1x + b1x + c1x = d1
a2y + b2y + c2y = d2  
a3z + b3z + c3z = d3

Dengan:
a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, dan d3  merupakan bilangan real
a1, b1, c1   0
a2, b2, c2   0
a3, b3, c3   0

Keterangan:
x,  y,  z    =  variabel
a1, a2, a3   =  koefisien variabel x
b1, b2, b3  =  koefisien variabel y
c1, c2, c3   =  koefisien variabel z
d1, d2, d3   = konstanta persamaan


Contoh 1.1
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut.
8x - 3y + 2z  = 28
3x + 4y +  z  = 22
5x + 2y + 3z  = 34
Jawab:

8x - 3y + 2z  = 28  ..... (1)
3x + 4y +  z  = 22  ..... (2)
5x + 2y + 3z  = 34  .... (3)

Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (2)
8x - 3y + 2z  = 28   x1
3x + 4y +  z  = 22   x2

8x - 3y + 2z  = 28
6x + 8y + 2z = 44   -
     2x - 11y = -16 ..... (4)

Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (3)
8x - 3y + 2z  = 28  x3
5x + 2y + 3z = 34  x2

24x - 9y + 6z  = 84
10x + 4y + 6z = 68    -
       14x - 13y = 16  .... (5)

Eliminasi x menggunakan Persamaan (4) dan persamaan (5)
 2x - 11y  = -16   x7
14x - 13y = 16    x1

14x - 77y = -112
14x - 13y =  16    -
       - 64y = -128
             y = -128/-64
             y =  2

Subsitusikan y = 2 pada persamaan (4) yaitu 2x - 11y = -16
⇔ 2x - 11.(2) = -16
⇔ 2x - 22 = -16
⇔ 2x  =  -16 + 22
⇔ 2x  =  6
⇔   x  =  6/2
⇔   x  =  3

Subsitusikan x = 3 dan y = 2 pada persamaan (1) yaitu 8x - 3y + 2z  = 28
⇔ 8.(3) - 3.(2) + 2z = 28
⇔ 24 - 6 + 2z = 28
⇔ 18 + 2z = 28
⇔  2z = 28 - 18
⇔  2z = 10
⇔    z = 10/2
⇔    z = 5
Jadi, HP = {(x, y, z)} = {(3, 2, 5)}


Contoh 1.2 (Soal Cerita)

Dewi Nurrohmah, Bachtiar, dan Rohman pergi bersama-sama ke toko buah. Dewi Nurrohmah membeli 9 kg jeruk, 2 kg apel, dan 4 kg salak dengan harga Rp. 122.000,00. Bachtiar membeli 2 kg jeruk, 4 kg apel, dan 1 kg salak dengan harga Rp. 81.000,00. Sedangkan Rohman membeli 1 kg jeruk, 2 kg apel, dan 2 kg salak seharga Rp. 48.000,00

Tentukan:
a.  Buatlah model matematika dari persoalan tersebut! 
b.  Hitunglah harga tiap kg jeruk, apel, dan salak!

Jawab:

Misalkan:
  • Jeruk =  x
  • Apel  =  y
  • Salak =  z
a.  Model matematika
9x + 2y + 4z =  122.000
2x + 4y +  z  =  81.000
x +  2y + 2z =  48.000

b.  Menghitung harga 1 kg jeruk, apel, dan salak.
     
9x + 2y + 4z =  122.000 .... (1)
2x + 4y +  z  =  81.000 ...... (2)
x +  2y + 2z  =  48.000 ...... (3)

Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (2)
9x + 2y + 4z =  122.000  x1
2x + 4y +  z  =  81.000    x4

9x + 2y + 4z   =  122.000
8x + 16y + 4z =  324.000   -
          x - 14y  =  -202.000 .... (4)

Eliminasi z menggunakan persamaan (1) dan persamaan (3)
9x + 2y + 4z =  122.000  x1
 x +  2y + 2z =  48.000    x2

9x + 2y + 4z =  122.000
2x + 4y + 4z =  96.000    -
        7x - 2y  =  26.000 ....... (5)

Eliminasi x menggunakan persamaan (4) dan Persamaan (5)
x  -  14y  =  -202.000  x7
7x + -2y  =  26.000     x1

7x - 98y = -1.414.000
7x  -2y   =  26.000      -
     -96y  =  -1.440.000
          y  = -1.440.000/-96
          y  =  15.000

Subsitusikan y = 15.000 pada persamaan (5) ⇔ 7x - 2y  =  26.000
⇔ 7x - 2.(15.000) = 26.000
⇔ 7x - 30.000 = 26.000
⇔ 7x  =  26.000 + 30.000
⇔ 7x  =  56.000
⇔   x  =  56.000/7
⇔   x  =  8.000

Subsitusikan x = 8.000 dan y = 15.000 pada persamaan (1) ⇔ 9x + 2y + 4z =  122.000
⇔ 9.(8.000) + 2.(15.000) + 4z = 122.000
⇔ 72.000 + 30.000 + 4z = 122.000
⇔ 102.000 + 4z =  122.000
⇔ 4z  =  122.000 - 102.000
⇔ 4z  =  20.000
⇔   z  =  20.000/4
⇔   z  =  5.000

Jadi, Harga 1 kg jeruk, apel dan salak adalah
Jeruk  = x = Rp. 8.000
Apel  = y = Rp. 15.000
Salak = z = Rp. 5.000


Soal Latihan

1.   2x - y + z = 6
      x - 3y + z = 2
      x + 2y - z = 3

2.   p - 2q + r  = 6

     3p + q - 2r = 4
     7p - 6q - r  = 10

3.   2x + y + z = 12

       x + 2y - z = 3
      3x - y + z  = 11


4. Shinta membeli di sebuah toko peralatan sekolah berupa 4 buah penggaris, 6 buah buku tulis, dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebersar Rp. 19.000,00. Di toko yang sama Anita berbelanja 3 buah buku tullis dan penggaris dengan menghabiskan uang Rp. 7.000,00. Jika harga 1 penggaris adalah Rp. 1.000,00. Maka tentukan harga 1 pena dan harga 1 buku tulis!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel